多重积分的方法总结
引言：
高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛，比如，要计算某个不规则物体的体积就可以运用积分来求解，很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多和意义。那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。（其中计算方法将通过例题来解释）
二重积分
定义： 设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）
这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
二重积分的计算方法 1直角坐标系中累次积分法
对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。平面点集D=?(x,y)|y1(x)?y?y2(x),a?x?b?为x型区域；平面点集D=
?(x,y)|x1(y)?x?x2(y),c?y?d?为y型区域。
x型区域:若f(x,y)在x型区域D上连续，其中y1(x),y2(x)在?a,b?上连续，则
by2(x)=dxf(x,y)d???y1(x)f(x,y)dy ??aD试计算：I=
2?yx??ed?的值。 D2解：画出区域图1只能用先对x后先对积y分，则
1y2211 I=?dy?x2e?ydx=?y3e?ydy
0030由分部积分法，即可算得：
图1
11 I=?
63e
例2 试将f(x,y)d?化为两种不同次序的累次积分，其中D是y=x由，
??Dy?2?x和x轴所围成的区域.
图2
解 首先画出积分区域D如图2，并求出边界曲线的交点（1,1），（0,0）及（2,0）。 则 f(x,y)d? =??f(x,y)d????f(x,y)d?
??D =?dx?f(x,y)dy??dx?001D11D2x22?x0f(x,y)dy
如果先积x后积y,则为
??f(x,y)d? =?0dy?yD12?yf(x,y)dx
2 极坐标中的累次积分法
当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为f(x2?y2)时，采用极坐标变换
?x?rcos?0?r???,0???2?, T= ??y?rsin?
于是二重积分极坐标形式为
f(x,y)d????f(rcos?, rsin?)rdrd?.?? DD例1 把??f(x,y)d?化成极坐标系中的累次积分，其中D是由圆
Dx2?y2?2Ry所围成的区域
解 在极坐标系中画出区域 D 如图
并把 D 的边界曲线 x 2 + y2 = 2Ry 化为极坐标方程， 即为
r?2Rsin?
作射线 ? = 0 与 ? = ? 夹紧域 D .在 [0, ?] 中任作射线与域边界交两点 r1 = 0，r2 = 2Rsin? ， 得 f(x,y)d????f(rcos?, rsin?)rdrd?.?? DD?2Rsin? ??d??f(rcos?, rsin?)rdr.00
例2 在极坐标系中，计算 二重积分??f(x2?y2)d?,D是由x2+y2?R12和Dx+y?R2(R1?R2)所围成的环形区域在第一象限的部分。 解 在极坐标系中画出区域 D ，如下图，并把D的边界曲线化为极坐标方程， 即为
222r?R1,r?R2,
作两条射线 ? = 0 与 ? =
?2的边界交两点 r?R1,r?R2,所以有 (x2?y2)d??r2rdr?夹紧积分域 D . 在0与
?2之间 任作一射线与域 D
DD? R2?442?d?r3dr?(R2?R1), 0R????如果积分域 D 是整个环形，显然有
222(x?y)d??r ????rdrd?
DD2?0R2R1??18??d??r3dr?2?2??r3dr?[r4]RR1R12??(R42?R41).2R2
多重积分的方法总结
