2019年福州市高中毕业班质量检测
理科数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={(x,y)|y=lgx},B={(x,y)|x=a},若A∩B=?,则实数a的取值范围是( ). A. a<1 B. a≤1 C. a<0 D. a≤0
2.“实数a=1”是“复数(1?ai)i( a∈R ,i为虚数单位)的模为2”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件 3. 执行如图所示的程序框图,输出的M的值是（ ）
是 开始 M=2 i=1 i<5? M?1 1?Mi=i+1 否 输出M 结束 A．2 B．?1 C．
1 D．?2 24. 命题”?x?R,使得f(x)?x”的否定是( )
A.?x?R,都有f(x)?x B.不存在x?R,使f(x)?x C.?x?R,都有f(x)?x D.?x?R,使 f(x)?x
5. 已知等比数列{an}的前n项积为?n,若a3?a4?a8?8,则?9=( ). A.512 B.256 C.81 D.16
6. 如图,设向量OA?(3,1),OB?(1,3),若OC＝λOA＋μOB,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )
·1·
7. 函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ).
y
A.f(x)=x+sinx B.f(x)?－3?2O－?2?23?2 cosx?3? C.f(x)=xcosx D.f(x)?x(x?)(x?) x22x2y28. 已知F1、F2是双曲线2?2?1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点F2关
ab于直线y?bx对称,,则该双曲线的离心为 ( ). aA.5 B.5 C.2 D.2 2y9.若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=f(x), f(2－x)=f(x), 且当x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数
H(x)= |xex|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为 ( ) 1
·2·
Ox1
A.5 B.4
C.3 D.2
10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取极小值,则
1(b?)2?(c?3)2的取值范围是( ).
2A.(3737,5) B.(5,5) C.(,25) D.(5,25)
42第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.
11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).
12.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点M,则点M恰好取自 阴影部分的概率为 .
C B y?x2 A O 13. 若直线x?y?2?0与圆C:(x?3)2?(y?3)2?4相交于A、B两点,则CA?CB的值为 .
14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 .
?x?n(?1)sin?2n,x?[2n,2n?1)??2,(n?N) , 15.已知函数f(x)???x?(?1)n?1sin?2n?2,x?[2n?1,2n?2)?2?若数列{am}满足am?f(
三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)
在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:
甲地 乙地 ·3·
m)(m?N?),且?am?的前m项和为Sm,则S2014?S2006= . 2 8 3 4 6 8 0 2 4 5 6
0 1 2
2 4 7 8 8 9 0 0 1 2
规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.
(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);
(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数?的分布列及数学期望E(?).
17. （本小题满分13分）
已知函数f(x)?2cos2x?23sinxcosx(x?R).. （Ⅰ）当x?[0,?2]时，求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）设?ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且c?3,f(C)?2,若向量
m?(1,sinA)与向量n?(2,sinB)共线，求a,b的值.
18. （本小题满分13分）
0?，点E、F分别是AB、CD的如图，直角梯形ABCD中，?ABC?90AB?BC?2AD=4
中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF． （Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG； （Ⅱ）当2VB-ADGE=VD-GBCF时，求二面角D-BG-C平面角的余弦值.
·4·
19.（本小题满分13分）
已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=－1相切. （Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程;
（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为?和?, ①当???=
?时,求证直线AB恒过一定点M; 2②若???为定值?(0????),直线AB是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由.
20. （本小题满分14分）
（x+)?ax，其中a?R且a?0 已知函数f(x)?ln（Ⅰ）讨论f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若直线y?ax的图像恒在函数f(x)图像的上方，求a的取值范围; （Ⅲ）若存在?1a1?x1?0，x2?0，使得f(x1)=f(x2)=0，求证：x1?x2?0. a21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵A????33??1????,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征??1????cd??1?向量?2????2??. ??（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵; （Ⅱ）计算A3???3???1??的值. ??4?·5·
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为
?sin?2?x??2???4cos?,直线l的参数方程为:???y??4???2t2(t为参数),两曲线相交于M,N两点. 2t2（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程; （Ⅱ）若P(－2,－4),求|PM|+|PN|的值． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=|x－4|+|x－3|, （Ⅰ）求f(x)的最小值m
（Ⅱ）当a+2b+3c=m(a,b,c∈R)时,求a2+b2+c2的最小值.
2019年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准
1—10 DABCA DCBBD
11.96 12.1/3 13.0 14.18+23 cm2 15.8042
7. 1084?.………………4分 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为
10516. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为 (II)?的取值为1，2，3. ………………5分
·6·
12C8?C21P(??1)??,3C1015………………7分
1C82?C27P(??2)??,………………9分 3C101530C8?C27………………11分 P(??3)??315C10 所以?的分布列为
? P
1 2 3 1 15 ………………12分
7 15 7 15 E?）?1?故?的数学期望为（17712?2??3??.………………13分 151515517. 解:(I)f(x)?2cos2x?3sin2x =cos2x?3sin2x?1=2sin?2x?令-??????1……………2分 6??2?2k??2x??6??2?2k?,k?Z，
解得2k????2???2x?2k??即k???x?k??…………4分
3633?x?[0,],?f(x)的递增区间为[0,] ………………6分
26??1 (Ⅱ)由f(C)?2sin(2C?)?1?2,得sin(2C?)?
662而C??0,??,所以2C?????13???,6?66?5??2C???C??????????8分 ,所以得?663?sinA1?， sinB2因为向量m?(1,sinA)与向量n?(2,sinB)共线，所以
由正弦定理得:
a1? ①……………10分 b2·7·
由余弦定理得:c?a?b?2abcos222?3,即a2+b2－ab=9 ②………12分
由①②解得a?3,b?23……………13分
18. 解:(Ⅰ)证明：∵点E、F分别是AB、CD的中点,∴EF//BC 又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF， ∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF， 如图建立空间坐标系E﹣xyz．……………2分
翻折前,连结AC交EF于点G,此时点G使得AG+GC最小. EG=
1BC=2,又∵EA=EB=2． 2则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0), ∴
=(﹣2,2,2),CG=(-2,-2,0)
∴BD?CG=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0， ∴BD⊥CG………………5分 (Ⅱ)解法一：设EG=k,
AD∥平面EFCB,?点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB
的距离.
1[(3- k)+4]×2=7-k 212\\VD-GBCF=鬃S四形GBCFAE=(7?k)
3312又VB-ADGE=S四形ADGE?BE=(2?k),
33422VB-ADGE=VD-GBCF,?(2?k)=(7?k),
33
S四形GBCF=?k?1即EG=1…………………8分
设平面DBG的法向量为n1?(x,y,z),∵G(0,1,0), ∴BG?(?2,1,0),BD?(－2,2,2),
·8·
??n1?BD?0??2x?2y?2z?0则 ?,即?
?2x?y?0 ??n1?BG?0?取x＝1,则y＝2,z＝－1,∴n?(1,2,?1) …………………10分 面BCG的一个法向量为n2?(0,0,1) 则cos
n1n26?? …………………12分
6|n1||n2|由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角, 所以此二面角平面角的余弦值为
6 ……………………13分 6(Ⅱ)解法二:由解法一得EG=1,过点D作DH?EF,垂足H,过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD. ∵平面AEFD⊥平面EBCF,? DH?平面EBCF，?OD?OB,所以?DOH就是所求的二面角D-BG-C的平面角. …………9分 由于HG=1,在?OHG中OH?又DH=2，在?DOH中tan?DOH?25, 5DH?5…………11分 OH所以此二面角平面角的余弦值为19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M(x,y),
6.…………13分 6依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线………2分 其方程为y2=4x.- …………3分
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
2y12y2,x2?由题意得x1≠x2(否则?????)且x1x2≠0,则x1? 44所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b, 则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2－4y+4b=0
·9·
由韦达定理得y1?y2?①当???=
44b,y1y2?-------※…………6分 kk?yy时,tan??tan??1所以1?2?1,x1x2?y1y2?0,…………7分 2x1x24b所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒k所以y1y2=16,又由※知:y1y2=过定点(－4,0). …………8分
②当???为定值?(0????)时.若???=直线AB恒过定点M(－4,0) …………9分 当???,由①知, 2?2时,由?????,得tan??tan(???)=
tan??tan?4(y1?y2)=
1?tan?tan?y1y2?1644,所以b?4k?,…………11分
b?4ktan?4此时,直线AB的方程可表示为y=kx+4k?,
tan?4)…………12分 所以直线AB恒过定点(?4,tan?将※式代入上式整理化简可得:tan??所以当??当???2时,直线AB恒过定点(－4,0)., 时直线AB恒过定点(?4,?24).…………13分 tan?20. 解:(I)f(x)的定义域为(?1,??). aa2x-a=-其导数f(x)=………1分
1ax+1x+a'1①当a?0时,f'(x)?0,函数在(?②当a?0时,在区间(-所以f(x)在(-1,??)上是增函数;…………2分 a1,0)上,f'(x)?0;在区间(0,+∞)上,f'(x)?0． a1,0)是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 a1(II)当a?0时, 取x?e?，
a111则f(e?)?1?a(e?)?2?ae?0?ae?1?a(e?), 不合题意.
aaa·10·
当a?0时令h(x)?ax?f(x),则h(x)?2ax?ln(x?)………6分
问题化为求h(x)?0恒成立时a的取值范围.
1a1)1'2a由于h(x)?2a? ………7分 ?11x?x?aa111)上,h'(x)?0;在区间(?,??)上,h'(x)?0. ?在区间(-,-2aa2a11?h(x)的最小值为h(?),所以只需h(?)?0
2a2a1111e)?ln(??)?0,?ln??1,?a?………9分 即2a?(?2a2aa2a21(Ⅲ)由于当a?0时函数在(?,??)上是增函数,不满足题意,所以a?0
a1构造函数:g(x)?f(?x)?f(x)(??x?0)
a11?g(x)?ln(?x)?ln(x?)?2ax………11分
aa2a(x?2ax2g(x)???2a??01112x?x?x?2则
aaa'11所以函数g(x)在区间(?1,0)上为减函数. a?1?x1?0,则g(x1)?g(0)?0, a于是f(-x1)-f(x（0,??)上为减函数可知1)>0,又f(x1)?0,f(-x1)>0=f(x2),由f(x)在
x2??x1.即x1?x2?0…………………14分
21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换 解: (Ⅰ)法一:依题意,??c?d?6?c?2?33??.A??. ………… 2分 ,?????3c?2d??2?d?4?24?所以A?11??2???2?…………4分 ??3??11????32??3法二:
??3?c??d?0即?2?(3?d)??3d?3c?0的两个根为6和1,
·11·
故d=4,c=2. ?A????33??…………2分 ??24?所以A?11??2???32?-…………4分 ??11??????32???1??1??3???=2???2??…………5分 ?1??－?4??????(Ⅱ)法一:??A3??13??429???1?3??3???????=2×6－1=?…………7分 ????????4???2??434??1??33??33??1521?3?1521??33??87129????????? ??;A???????????????4??24??1422??1422??24??86130?法二:A2???2?A3????1??87129???1??429??????=?…………7分 ??????????4??86130??4??434? (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.
解:(Ⅰ)(曲线C的直角坐标方程为y2=4x, 直线l的普通方程x－y－2=0. ………..4分
??x??2??(Ⅱ)直线l的参数方程为??y??4???22t2(t为参数), 2t2代入y2=4x, 得到t?122t?48?0,设M,N对应的参数分别为t1,t2
则t1?t2?122,t1t2?48?0 所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=122…………7分 (3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 解:(Ⅰ)法1: f(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1, 故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分
?2x?7,x?4? 法2:f(x)??1,3?x?4.------------------1分
?7?2x,x?3?·12·
x≥4时,f(x)≥1;x<3时,f(x)>1,3≤x<4时,f(x)=1,----------------3分 故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分
(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1----------5分
1-…………6分 14113,b?,c?当且仅当a?时取等号…………7分 14714故a2+b2+c2≥
·13·
福建省福州市2019届高三毕业班3月质检 数学理
