学科：数学[来源:Zxxk.Com][来源:Z§xx§k.Com][来源:Zxxk.Com][来源:Z|xx|k.Com][来源:Z_xx_k.Com]
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5．什么是泰勒公式？怎样求函数的泰勒公式？ 对于一些较复杂的函数，为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它们的函数值，因此我们经常用多项式近似代替一般函数，那一个函数具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？如果一个函数能用多项式近似代替，这个多项式的系数与这个函数有什么样的关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢？
首先讨论若p（x）是一个n次多项式
教学内容：导数与微分知识拓展（二）
p?x??a0?a1x?a2x2???anxn.
将p?x?按着x?x0的幂表示，即令2np?x??b0?b1?x?x0??b2?x?x0????bn?x?x0?.那么，b0、b1、b2?、bn与p?x?有什么关系？
在上式中，令x?x0，得b0?p?x0?.2n?1又p??x??b1?2b2?x?x0??3b3?x?x0????nbn?x?x0?,
再令x?x0,得b1?p??x0??p??x0?.1!n?2又p???x??2b2?3?2b3?x?x0????n?n?1?bn?x?x0?,
再令x?x0,得b2?……
p???x0?p???x0?? 22!p?n??x0?bn?n!p?k??x0?即：bk?,k?0,1,2,?,n.
k!p??x0?p???x0?p?n??x0?2?x?x0???x?x0?????x?x0?n.于是:p?x??p?x0??1!2!n!
由此可知，将n次多项式函数p（x）按着?x?x0?的幂展开，它的多项式的系数bk由
p?k??x0?多项式p（x）所确定，即bk?.
k!对于任意的函数（不必是多项式函数），只要函数f（x）在点x0存在直到n阶导数，总能写出一个相应的n次多项式
f??x0?f???x0?f?n??x0?2?x?x0???x?x0?????x?x0?n. Tn?x??f?x0??1!2!n!多项式Tn?x?称为f（x）在x0的n次泰勒多项式．若用n次泰勒多项式近似代替f（x），所产生的误差怎样表示呢？一般地，我们有：
若函数f（x）在含有点x0的某开区间（a，b）内有直到n＋1阶导数，则对任意的点x
f???x0?f?n??x0?2?x?x0?????x?x0?n? ∈（a，b），有f?x??f?x0??f??x0??x?x0??2!n!f?n?1????f?n?1????n?1?x?x0?,其中?x?x0?n?1称为拉格朗日余项，记作Rn?x?，即
?n?1?!?n?1?!f?n?1?????x?x0?n?1??介于x0与x之间?. Rn?x???n?1?!上面的公式称为泰勒（Taglor）公式，也称为具有高阶导数的中值定理，在这里令n＝1，
f?x??f?x0??f?????x?x0?,
即是拉格朗日中值定理．
在上式中，若用泰勒多项式近似代替f（x），所产生的误差是
|f?n?1????||Rn?x?|?|x?x0|n?1??介于x0与x之间?.
?n?1?!特别地，若f?n?1??x?在（a，b）上有界，设M>0,对?x??a,b?，有|f?n?1??x?|?M,则误差可表示：
|Rn?x?|?M|x?x0|n?1.
?n?1?!从上面可以求出，要求f（x）的泰勒公式，只要求出泰勒多项式的系数bk，而
f?k??x0?bk?,因此只须求f（x）在x0的直到n阶的导数f?k??x0??k?0,1,2,?,n?即可．
k!
例1将f?x??x3?3x2?2x?4展开为x?1的多项式.
思路启迪 x＋1可以写成x－（－1），故只需求出f（x）有－1点的各级导数即可．
规范解法x0??1,f?x??x3?3x2?2x?4,f??x??3x2?6x?2,f???x??6x?6,f????x??6,故得f?x??4???1??x?1??3f??1??4;f???1???1;
f????1??0;f?????1??6.0?x?1?2?6?x?1?3.2!3!
即f?x??4??x?1???x?1?.在泰勒公式中，当x0?0时，公式成为：
f???0?2f?n??0?nf?n?1???x?n?1f?x??f?0??f??0?x?x???x?x,?0???1?.
?n?1?!2!n!这个公式称为马克劳林（Maclaurin）公式．
例2 将f（x）＝ln（1＋x）展开为x的幂式（即马克劳林公式）． 思路启迪 首先求出f（x）在0点的各阶导数，然后代入公式即可． 规范解法 当x>－1时，f（x）是连续函数，并有连续的各阶导数：
?n?1?!?n?1,2,??,?1?x?nn?1?f?n??0????1??n?1?!?n?1,2,??.又f?0??0,f?n??x????1?n?1nx2x3n?1x所以ln?1?x??x???????1??Rn?x?,23nxn?1n?0???1?.Rn?x????1?n?1?n?1??1??x?
例3求出函数f?x??ex的马克劳林公式.
规范解法已知f?n??x??ex,f?n??0??1,xxx2xnxn?1θx故有e?1???????e,?0?θ?1?.1!2!n!?n?1?
例4 利用ln（1＋x）展开式的前五项计算ln1.2之值．
x2x3x4x5规范解法ln?1?x??x?????R5,2345x61|R5|??,?0???x?.66?1???取x?0.2,ln1?2?ln?1?0.2??0.2?|R5|?1?0.2?2?1?0.2?3?1?0.2?4?1?0.2?5?R5,2345
11?0.00064??0.000011?0???0.2?,66?1???故ln1.2?0.2?0.02?0.00267?0.00040?0.00006?0.1823.6．怎样判别曲线的凹凸性及拐点？
由导数f??x?的符号，可知函数f（x）的单调性，但还不能完全反映它的变化规律，如
y?x3函数y?x3与y?x（图3－17）在（0，＋∞）都是单调增加的，但增加的方式却不同，
是向上弯曲的，而y?x是向下弯曲的．因此，研究函数图像时，考察它们的弯曲方向是很有必要的．
由图3－18（a）、图3－18（b）我们可以直观地看到，当动点P沿着曲线滑动时，曲线上的切线随着点P而变化．当每一点的切线位于曲线下方时，曲线是向上弯曲的，此时称曲线是向下凹的；当每一点切线位于曲线的上方时，曲线是向下弯曲的，此时称曲线是向上凸的．
如果一条曲线y＝f（x）在区间（a，b）上是向下凹或是向上凸的，我们就说曲线y＝f（x）在（a，b）上具有凸凹性，曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点．
下面我们给出判断曲线的凸凹性的一个方法．
设f（x）在x?x0的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数，曲线y＝f（x）在点
M?x0,f?x0??的切线为y?f?x0??f??x0??x?x0?.
因而切线上横坐标为x的点的纵坐标为：
y?BA?f?x0??f??x0??x?x0?.
曲线上横坐标为x的点的纵坐标为：
f?x??BC?f?x0??f??x0??x?x0??12f??????x?x0?, 2ξ介于x0与x之间，故
12AC?f??????x?x0?.
2AC表示点x处曲线上的点与切线上的点之间的距离(如图3—19)．
(1)当f???x0??0时，则f''(x)在点x0的充分小邻域内也大于0，因此AC>O，于是C在A之上，换句话说，在M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之上，故曲线在M点附近是向下凹的．
(2)当f???x0??0,则f???x?在点x0的充分小邻域内也小于0，因此AC<0，即点C在A之下，换句话说，在点M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之下，故曲线在M点附近是向上凸的．
(3)当f???x0??0时，f?????可能是正数也可能是负数．
①若x由小于x0变为大于x0,f???x?不变号，则曲线在点M附近仍为向下凹的或向上凸的；②若x由小于x0变为大于x0，f???x?变号，则在点M处曲线将从切线的一侧穿过切线进入另一侧，即曲线在点M附近两侧，其中一侧是向下凹的，则另一侧是向上凸的．此时，点M是曲线向下凹与向上凸的分界点，即是拐点．
从上面(3)中的②可以看出，若x0是使得f???x0??0的点，则?x0,f?x0??可能是拐点．
北大附中高考数学专题复习导数与微分知识拓展(二)
