?2（2）x?2.0?10cos?4πt?π/2??2（3）x?2.0?10cos?4πt?π/3??2（4）x?2.0?10cos?4πt?4π/3??m? ?m? ?m?
5-9 有一弹簧， 当其下端挂一质量为m 的物体时， 伸长量为 ×10-2 m．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1） 当t ＝0 时，物体在平衡位置上方 ×10-2 ｍ 处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2） 当t ＝０ 时，物体在平衡位置并以ｍ·s-1的速度向上运动，求运动方程．
分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、ω和φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k）决定的，即??k/m，k 可
根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相φ需要根据初始条件确定．
题5-9 图
解 物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F ＝mg．而此时弹簧的伸长量Δl ＝ ×10-2m．则弹簧的劲度系数k ＝F ／Δl ＝mg ／Δl．系统作简谐运动的角频率为
??k/m?g/?l?10s?1
（1） 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向．由初始条件t ＝0 时，x10 ＝ ×10-2 m、v10 ＝0 可得振幅A?确定初相
2x10??v10/???8.0?10?2m；应用旋转矢量法可
2?1?π［图（a）］．则运动方程为
x1?8.0?10?2cos?10t?π??m?
2x20??v20/???6.0?10?2m；
2 （2）t ＝０ 时，x20 ＝0、v20 ＝ ｍ·s-1 ，同理可得A2??2?π/2［图（b）］．则运动方程为
x2?6.0?10?2cos?10t?0.5π??m?
5-10 某振动质点的x-t 曲线如图（a）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点P 对应的
相位；（3） 到达点P 相应位置所需的时间．
分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A、ω和?0，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A；而ω、?0通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．
解 （1） 质点振动振幅A ＝ ｍ．而由振动曲线可画出t0 ＝0 和t1 ＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b） 所示．由图可见初相
?0??π/3（或
?0?5π/3），而由
??t1?t0???/2??/3得ω?5π/24s?1，则运动方程为
?5π?x?0.10cos?t?π/3??24??m?
题5-10 图
（2） 图（a）中点P 的位置是质点从A／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c） 所示．当初相取相取成
?0??π/3时，点P 的相位为?p??0???tp?0??0（如果初
?0?5π/3，则点P 相应的相位应表示为?p??0???tp?0??2π．
（3） 由旋转矢量图可得ωtp?0?π/3，则tp?1.6s．
5-11 质量为10 g的物体沿x的轴作简谐运动，振幅A=10 cm，周期T= s，t=0 时物体的位移为x0????5.0cm，且物体朝x轴负方向运动，求（1）t= s时物体的位移；（2）t= s 时物
体受的力；（3）t=0之后何时物体第一次到达 x=5.0 cm处；（4）第二次和第一次经过x=5.0 cm处的时间间隔.
分析 根据题给条件可以先写出物体简谐运动方程x?Acos(?t??).其中振幅A，角频率
??2π均已知，而初相?可由题给初始条件利用旋转矢量法方便求出. 有了运动方程，tT?ma??m?2x也就可以求出. 对于（3）、（4）两问均
时刻位移x和t时刻物体受力F可通过作旋转矢量图并根据公式?????t很方便求解.
2π.而3解 由题给条件画出t=0时该简谐运动的旋转矢量图如图（a）所示，可知初相??A=0.10 m，?
?2ππ?1?s.则简谐运动方程为 T2π2πx?0.10cos(t?)m
23(1)t= s 时物体的位移
x?0.10cos(1.0?
（2）t= s时物体受力
π2π?)m??8.66?10?2m 23πF??m?2x??10?10?3?()2?(?8.66?10?2)N 2?2.14?10?3N（3）设t=0时刻后，物体第一次到达x=5.0 cm处的时刻为t1，画出t=0和t=t1时刻的旋转矢量图，如图（b）所示，由图可知，A1与A的相位差为π，由?????t得
t1?????πs?2s π/2（4）设t=0时刻后，物体第二次到达x=5.0 cm处的时刻为t2,画出t=t1和t= t2时刻的旋转
矢量图，如图（c）所示，由图可知，A2与A1的相位差为
2π，故有 3?t?t2?t1?????2π/34s?s π/23
题 5-11 图
5-12 图（a）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm，求（1） 振动周期；（2） 加速度的最大值；（3） 运动方程．
分析 根据v-t 图可知速度的最大值vmax ，由vmax ＝Aω可求出角频率ω，进而可求出周期T 和加速度的最大值amax ＝Aω2 ．在要求的简谐运动方程x ＝Acos（ωt ＋φ）中，因为A 和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v －t 曲线图可以知道，当t ＝0 时，质点运动速度v0 ＝vmax/2 ＝Aω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x 轴正向向着平衡点运动．利用v0 ＝－Aωsinφ就可求出φ．
?1解 （1） 由vmax?A?得??1.5s，则
T?2π/ω?4.2s
2?2?2（2）amax?A??4.5?10m?s
（3） 从分析中已知v0??Aωsin?Aω/2，即
sin???1/2
???π/6,?5π/6
因为质点沿x 轴正向向平衡位置运动，则取运动方程为
??5π/6，其旋转矢量图如图（b）所示．则
5π??x?2cos?1.5t???cm?
6??
题5-12 图
5-13 有一单摆，长为1.0m，最大摆角为5°，如图所示．（1） 求摆的角频率和周期；（2） 设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3） 摆角为3°时的角速度和摆球的线速度各为多少
题5-13 图
分析 单摆在摆角较小时（θ＜5°）的摆动，其角量θ与时间的关系可表示为简谐运动方程
???maxcos??t???，其中角频率ω仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长l）决定，
即??g/l．初相φ与摆角θ，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同
的物理概念，必须注意区分． 解 （1） 单摆角频率及周期分别为
ω?g/l?3.13s?1;T?2π/ω?2.01s
o（2） 由t?0时???max?5可得振动初相??0，则以角量表示的简谐运动方程为
θ?πcos3.13t 36 （３） 摆角为3°时，有cos??t?????/?max?0.6，则这时质点的角速度为
d?/dt???max?sin??t??????max?1?cos2??t?????0.80?max???0.218s线速度的大小为
?1
v?ld?/dt??0.218m?s?1
讨论 质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取sin???，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ 较小时成立．
*5-14 一飞轮质量为12kg，内缘半径r ＝ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为，试求其绕质心轴的转动惯量．
物理学教程（第二版）上册课后答案5
