第五章 机械振动
5-1 一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为?动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）
A，且向x 轴正方向运2
题5-１ 图
分析与解（B）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（B）． 5-2 一简谐运动曲线如图（a）所示，则运动周期是（ ） (A) s (B) s (C) s （D） s
题5-２ 图
分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 A/2，且向x 轴正方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为-2π/3．振动曲线上给出质点从A/2 处运动到x=0处所需时间为1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差???2??5???，326则角频率??Δ?/Δt?5?2?rad?s?1，周期 T??2.40s.故选（B）． 6?5-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a） 所示， x1 的相位比x2 的相位（ ） （A） 落后
ππ （B）超前 （C）落后π （D）超前π 22分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b） 即可得到答案为（B）．
题5 -３ 图
5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐运动合成后，振幅仍为A，则这两个简谐运动的相位差为（ ）
（A） 60 （B）90 （C）120 （D）180
分析与解 由旋转矢量图可知两个简谐运动1和2的相位差为120时，合成后的简谐运动3的振幅仍为A.正确答案为（C）．
?????
题5-4 图
5-5 若简谐运动方程为x?0.10cos?20πt???π??，式中x的单位为m，t的单位为s.求：4?（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t?2s时的位移、速度和加速度． 分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式
x?Acos??t???作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速
度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果． 解 （1） 将x?0.10cos?20πt?0.25π??m?与x?Acos??t???比较后可得：振
?1幅A ＝0.10m，角频率??20πrad?s，初相?＝π，则周期T?2π/ω?0.1s，频率
v?1/THz．
（２）t?2s时的位移、速度、加速度分别为
x?0.10cos?40πt?0.25π??7.07?10?2m v?dx/dt??2πsin?40π?0.25π???4.44m?s-1
a?d2x/d2t??40π2cos?40π?0.25π???2.79?102m?s-2
5-6 一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．
分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力
F与位移x间的关系，如果满足F??kx，则货轮作简谐运动．通过F??kx即可求得振
动周期T?2π/ω?2πm/k．
证 货轮处于平衡状态时［图（a）］，浮力大小为F ＝mg．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x 轴正向，如图（b）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为
?F?P?F?
其中F?为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为
F??F??gSx?mg??gSx
题5-6 图
则货轮所受合外力为
?F?P?F????gSx??kx
式中k??gS是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动． 由
?F?mdx/dt可得货轮运动的微分方程为
22d2x/d2t??gSx/m?0
2令???gS/m，可得其振动周期为
T?2π/ω?2πm/ρgS
k2 ．5-7 如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1、当物体在光滑斜面上振动时．（1）
证明其运动仍是简谐运动；（2） 求系统的振动频率．
题5-7 图
分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率?． 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有
mgsin??k1x1?k2x2 （1）
?和x2?，即按图（b）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x1??x2?．则物体受力为 x?x1???mgsin??k1?x1?x1?? （２） F?mgsin??k2?x2?x2将式（1）代入式（2）得
???k1x1? （３） F??k2x2???F/k1、x2???F/k2，而x?x1??x2?，则得到 由式（3）得x1F???k1k2/?k1?k2??x??kx
式中k?k1k2/?k1?k2?为常数，则物体作简谐运动，振动频率
v?ω/2π?11k/m?k1k2/?k1?k2?m 2π2π 讨论 （1） 由本题的求证可知，斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2） 如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为v?12π?k1?k2?/m，读者可以一试．通过这些例
子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．
5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A＝ ×10-2 m，周期T＝ｓ．当t＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在x ＝×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在x＝×10-2 m处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程． 分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x0 和v ＝v0 来确定φ值．（2） 旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x0 和速度v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．
题5-8 图
?1解 由题给条件知A ＝ ×10-2 m，ω?2/T?4πs，而初相φ可采用分析中的两种不同
方法来求．
解析法：根据简谐运动方程x?Acos??t???，当t?0时有x0?Acos??t???，
v0??A?sin?．当
（1）x0?A时，cos?1?1，则?1?0； （2）x0?0时，cos?2?0，
?2??ππ，因v0?0，取?2?； 22?2（3）x0?1.0?10m时，cos?3?0.5，?3??ππ ，由v0?0，取?3?； 33π4π ，由v0?0，取?4?． 33?2（4）x0??1.0?10m时，cos?4??0.5，?4?π?旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为?1?0，
?2?ππ4π，?3?，?4?． 233振幅A、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为
?2（1）x?2.0?10cos4πt?m?
物理学教程（第二版）上册课后答案5
