第五章 机械振动
5-1 一个质点作简谐运动,振幅为A,在起始时刻质点的位移为?动,代表此简谐运动的旋转矢量为( )
A,且向x 轴正方向运2
题5-1 图
分析与解(B)图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为-A/2,且投影点的运动方向指向Ox轴正向,即其速度的x分量大于零,故满足题意.因而正确答案为(B). 5-2 一简谐运动曲线如图(a)所示,则运动周期是( ) (A) s (B) s (C) s (D) s
题5-2 图
分析与解 由振动曲线可知,初始时刻质点的位移为 A/2,且向x 轴正方向运动.图(b)是其相应的旋转矢量图,由旋转矢量法可知初相位为-2π/3.振动曲线上给出质点从A/2 处运动到x=0处所需时间为1 s,由对应旋转矢量图可知相应的相位差???2??5???,326则角频率??Δ?/Δt?5?2?rad?s?1,周期 T??2.40s.故选(B). 6?5-3 两个同周期简谐运动曲线如图(a) 所示, x1 的相位比x2 的相位( ) (A) 落后
ππ (B)超前 (C)落后π (D)超前π 22分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图(b) 即可得到答案为(B).
题5 -3 图
5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐运动合成后,振幅仍为A,则这两个简谐运动的相位差为( )
(A) 60 (B)90 (C)120 (D)180
分析与解 由旋转矢量图可知两个简谐运动1和2的相位差为120时,合成后的简谐运动3的振幅仍为A.正确答案为(C).
?????
题5-4 图
5-5 若简谐运动方程为x?0.10cos?20πt???π??,式中x的单位为m,t的单位为s.求:4?(1) 振幅、频率、角频率、周期和初相;(2)t?2s时的位移、速度和加速度. 分析 可采用比较法求解.将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式
x?Acos??t???作比较,即可求得各特征量.运用与上题相同的处理方法,写出位移、速
度、加速度的表达式,代入t值后,即可求得结果. 解 (1) 将x?0.10cos?20πt?0.25π??m?与x?Acos??t???比较后可得:振
?1幅A =0.10m,角频率??20πrad?s,初相?=π,则周期T?2π/ω?0.1s,频率
v?1/THz.
(2)t?2s时的位移、速度、加速度分别为
x?0.10cos?40πt?0.25π??7.07?10?2m v?dx/dt??2πsin?40π?0.25π???4.44m?s-1
a?d2x/d2t??40π2cos?40π?0.25π???2.79?102m?s-2
5-6 一远洋货轮,质量为m,浮在水面时其水平截面积为S.设在水面附近货轮的水平截面积近似相等,水的密度为ρ,且不计水的粘滞阻力,证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动,并求振动周期.
分析 要证明货轮作简谐运动,需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时,它所受的合外力
F与位移x间的关系,如果满足F??kx,则货轮作简谐运动.通过F??kx即可求得振
动周期T?2π/ω?2πm/k.
证 货轮处于平衡状态时[图(a)],浮力大小为F =mg.当船上下作微小振动时,取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O,竖直向下为x 轴正向,如图(b)所示.则当货轮向下偏移x 位移时,受合外力为
?F?P?F?
其中F?为此时货轮所受浮力,其方向向上,大小为
F??F??gSx?mg??gSx
题5-6 图
则货轮所受合外力为
?F?P?F????gSx??kx
式中k??gS是一常数.这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动. 由
?F?mdx/dt可得货轮运动的微分方程为
22d2x/d2t??gSx/m?0
2令???gS/m,可得其振动周期为
T?2π/ω?2πm/ρgS
k2 .5-7 如图(a)所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为k1、当物体在光滑斜面上振动时.(1)
证明其运动仍是简谐运动;(2) 求系统的振动频率.
题5-7 图
分析 从上两题的求解知道,要证明一个系统作简谐运动,首先要分析受力情况,然后看是否满足简谐运动的受力特征(或简谐运动微分方程).为此,建立如图(b)所示的坐标.设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O,Ox 轴正向沿斜面向下,由受力分析可知,沿Ox 轴,物体受弹性力及重力分力的作用,其中弹性力是变力.利用串联时各弹簧受力相等,分析物体在任一位置时受力与位移的关系,即可证得物体作简谐运动,并可求出频率?. 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2,则由物体受力平衡,有
mgsin??k1x1?k2x2 (1)
?和x2?,即按图(b)所取坐标,物体沿x 轴移动位移x时,两弹簧又分别被拉伸x1??x2?.则物体受力为 x?x1???mgsin??k1?x1?x1?? (2) F?mgsin??k2?x2?x2将式(1)代入式(2)得
???k1x1? (3) F??k2x2???F/k1、x2???F/k2,而x?x1??x2?,则得到 由式(3)得x1F???k1k2/?k1?k2??x??kx
式中k?k1k2/?k1?k2?为常数,则物体作简谐运动,振动频率
v?ω/2π?11k/m?k1k2/?k1?k2?m 2π2π 讨论 (1) 由本题的求证可知,斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响.事实上,无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂,物体均作简谐运动.而且可以证明它们的频率相同,均由弹簧振子的固有性质决定,这就是称为固有频率的原因.(2) 如果振动系统如图(c)(弹簧并联)或如图(d)所示,也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动,且振动频率均为v?12π?k1?k2?/m,读者可以一试.通过这些例
子可以知道,证明物体是否作简谐运动的思路是相同的.
5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子,振幅A= ×10-2 m,周期T=s.当t=0 时,(1) 物体在正方向端点;(2) 物体在平衡位置、向负方向运动;(3) 物体在x =×10-2m 处, 向负方向运动; (4) 物体在x=×10-2 m处,向正方向运动.求以上各种情况的运动方程. 分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下,确定初相φ是求解简谐运动方程的关键.初相的确定通常有两种方法.(1) 解析法:由振动方程出发,根据初始条件,即t =0 时,x =x0 和v =v0 来确定φ值.(2) 旋转矢量法:如图(a)所示,将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x0 和速度v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ.旋转矢量法比较直观、方便,在分析中常采用.
题5-8 图
?1解 由题给条件知A = ×10-2 m,ω?2/T?4πs,而初相φ可采用分析中的两种不同
方法来求.
解析法:根据简谐运动方程x?Acos??t???,当t?0时有x0?Acos??t???,
v0??A?sin?.当
(1)x0?A时,cos?1?1,则?1?0; (2)x0?0时,cos?2?0,
?2??ππ,因v0?0,取?2?; 22?2(3)x0?1.0?10m时,cos?3?0.5,?3??ππ ,由v0?0,取?3?; 33π4π ,由v0?0,取?4?. 33?2(4)x0??1.0?10m时,cos?4??0.5,?4?π?旋转矢量法:分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图,如图(b)所示,它们所对应的初相分别为?1?0,
?2?ππ4π,?3?,?4?. 233振幅A、角频率ω、初相φ均确定后,则各相应状态下的运动方程为
?2(1)x?2.0?10cos4πt?m?
物理学教程(第二版)上册课后答案5
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)