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专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线
一、能力突破训练
1.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为() A.=1 C.=1
B.=1 D.=1
2.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为() A.2 C.6
B.4 D.8
3.(2018全国Ⅱ,理5)若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为() A.y=±x C.y=±x
B.y=±x D.y=±x
4.(2018天津,理7)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为() A.=1 C.=1
B.=1 D.=1
5.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为() A. C.
B. D.
6.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.
7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为. 8.
如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点. (1)求点A,B的坐标;
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(2)求△PAB的面积.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 9.
如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程;
(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.
10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足||=·()+2. (1)求曲线C的方程;
(2)点Q(x0,y0)(-2 二、思维提升训练 11.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为() A.16 B.14 C.12 D.10 精选中小学试题、试卷、教案资料 12.(2018全国Ⅲ,理11)设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为() A. B.2 C. D. 13.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=. 14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为. 15.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P. (1)求动点P的轨迹C1的方程; (2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值. 16.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是. (1)求椭圆Ω的方程; (2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 专题能力训练17 椭圆、双曲线、抛物线 一、能力突破训练 1.B解析由题意得,c=3. 又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5, 故C的方程为=1. 2.B解析不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2. 因为|AB|=4,所以可设A(m,2). 又因为|DE|=2, 所以解得p2=16. 精选中小学试题、试卷、教案资料 故p=4,即C的焦点到准线的距离是4. 3.A解析∵e=, +1=3. ∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±x, ∴渐近线方程为y=±x. 4.C解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E. 由题易知EF为梯形ABCD的中位线, 所以|EF|=(d1+d2)=3. 又因为点F(c,0)到y=x的距离为=b,所以b=3,b2=9. 因为e==2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为=1.故选C. 5.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P 当点P的坐标为时,由=m+n, 得 由(舍去), ,,∴e= 同理,当点P的坐标为时,e= 故该双曲线的离心率为 6.2解析∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x=1,即a=b.又|OB|=2,∴c=2a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2. 7解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b, 精选中小学试题、试卷、教案资料 ∵∠MAN=60°, ∴|AP|=b,|OP|= 设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=又tanθ=,,解得a2=3b2, ∴e= 8.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t), 由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0, 由于直线PA与抛物线相切,得k=t. 因此,点A的坐标为(2t,t2). 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得 因此,点B的坐标为 (2)由(1)知|AP|=t和直线PA的方程tx-y-t2=0. 点B到直线PA的距离是d= 设△PAB的面积为S(t), 所以S(t)=|AP|·d= 9.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在; 当x=1时,直线MB的斜率不存在. 于是x≠1,且x≠-1. 此时,MA的斜率为,MB的斜率为 由题意,有=4. 整理,得4x2-y2-4=0. 故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1). (2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ① 对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0, 而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1. 结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1. 设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR), 则xQ,xR为方程①的两根, 因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.
2019年高考数学二轮复习专题能力训练 Word版含答案17
