(2)由题意直线l的斜率存在,可设其方程为
y=k(x+3),M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=k(x+3)代入+y=1,
4
消去y可得(1+4k)x+24kx+36k-4=0, 所以Δ=(24k)-4×(1+4k)(36k-4)>0,
21即k<,
5
22
2
2
2
2
2
2
x2
2
24k36k-4
且x1+x2=-2,x1x2=2,
1+4k1+4k→→222
所以OM·ON=x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+3)·k(x2+3)=(1+k)x1x2+3k(x1+x2)+9k
2
36k-4?-24k2?+9k2 2
=(1+k)·+3k·?1+4k?21+4k??
2
2
22
41k-457k=2=-4+2, 1+4k1+4k21因为0≤k<,
5
22
57k19
所以0≤, 2<1+4k357k7
所以-4≤-4+2<,
1+4k37?→→?所以OM·ON的取值范围是?-4,?. 3??
3.(2019·恩施州质检)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,其准线L:x=-1与x轴的交点为K,过点K的直线l与抛物线C交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程;
→→→
(2)点A关于x轴的对称点为D,证明:存在实数t∈(0,1),使得KF=tKB+(1-t)KD. (1)解 因为抛物线C:y=2px(p>0)的准线为直线L:x=-1, 所以-=-1,解得p=2.
2所以抛物线C的方程为y=4x. (2)证明 易知点K的坐标为(-1,0), 据题意可设直线l的方程为
22
2
2
2
px=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2).
??x=my-1,联立?2
??y=4x
整理得y-4my+4=0,
2
所以Δ=16m-16>0,得m>1,
??y1+y2=4m,故???y1y2=4.
22
因为点A(x1,y1)关于x轴的对称点为D, 所以D(x1,-y1). 则直线BD的方程为y-y2=得y-y2=得y-y2=
y2+y1
(x-x2), x2-x1
(x-x2),
y2+y1
my2-1-my1-1
y2+y1
(x-x2),
my2-y1
2
4?y2?即y-y2=?x-4?.
y2-y1??
4?y2?令y=0,得0-y2=?x-4?,
y2-y1??得x=-y2·
4=
2
y222
y2-y1y22-y2+y1y2
4
=4
y1y24
4
==1. 4
所以直线BD恒过定点(1,0). 所以点F(1,0)在直线BD上, →→
所以不妨令DF=tDB(t∈(0,1)). →→→因为KF=KD+DF, →→→所以KF=KD+tDB, →→→→
所以KF=KD+t(KB-KD), →→→所以KF=(1-t)KD+tKB. 所以存在实数t∈(0,1),
→→→
使得KF=tKB+(1-t)KD,命题得证.
B组 能力提高
x2y2223??
4.(2019·泰安质检)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率e=,且经过点?-,?.
ab22??2
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(-2,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),→→→→
过右焦点F的直线AF,BF分别交椭圆C于点M,N,设AF=αFM,BF=βFN,α,β∈R,求
α+β的取值范围.
??
解 (1)由题意可得?13
+=1,2a4b??a=b+c,
2
2
2
2
2
c2
=,a2
解得a=2,b=1,
22
则椭圆方程为+y=1.
2
(2)A(x1,y1),B(x2,y2),设M(x3,y3), →→
则AF=(1-x1,-y1),FM=(x3-1,y3), →→
由AF=αFM,可得-y1=αy3, 则α=-,
当AM与x轴不垂直时,直线AM的方程为
x2
2
y1y3
y1x1-1y+y1
y=(x-1),即x=, x1-1y1
代入曲线C的方程+y=1,
2
整理可得(3-2x1)y+2y1(x1-1)y-y1=0, ∴y1y3=-
2
2
x2
2
y21
3-2x1
,
∴α=-=3-2x1,
当AM与x轴垂直时,A点横坐标为x1=1,α=1,显然α=3-2x1也成立, ∴α=3-2x1,同理可得β=3-2x2, 由题意可知,直线l的斜率存在且不为0, 设直线l的方程为y=k(x+2),k≠0,
y1y3
y=kx+2,??2
联立?x2
+y=1,??2
2
2
消去y整理得(2k+1)x+8kx+8k-2=0, 由Δ=(8k)-4(2k+1)(8k-2)>0,
21
解得0 2 22 2 2 22 8k∴x1+x2=-2, 2k+1 2 ∴α+β=3-2x1+3-2x2=6-2(x1+x2) 8 =14-2∈(6,10), 2k+1即α+β的取值范围是(6,10). x2y2 5.(2019·六安模拟)设椭圆E:2+2=1(a>b>0),其中长轴长是短轴长的2倍,过焦点且 ab垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为23. (1)求椭圆E的方程; (2)点P是椭圆E上动点,且横坐标大于2,点B,C在y轴上,(x-1)+y=1内切于△PBC,试判断点P的横坐标为何值时△PBC的面积S最小. 2 2 b2 解 (1)由已知a=2b,=3, a解得a=23,b=6, 故所求椭圆方程为+=1. 126 (2)设P(x0,y0)(2 则直线PB的方程为lPB:y-m=即(y0-m)x-x0y+x0m=0, 又圆心(1,0)到直线PB的距离为1, 即 |y0-m+x0m| x2y2 y0-mx, x0 y0-m2 =1, 2 +x0 2 化简得(x0-2)m+2y0m-x0=0, 同理(x0-2)n+2y0n-x0=0, 所以m,n是方程(x0-2)x+2y0x-x0=0的两个根, 所以m+n= 2 2 2 -2y0-x0 ,mn=, x0-2x0-2 2 2 4x0+4y0-8x0 则(m-n)=, x0-22因为P(x0,y0)是椭圆上的点, ?x0?所以y=6?1-?, ?12? 20 2 2x0-8x0+24 则(m-n)=, x0-22 2 2 12x0-8x0+242 所以S=··x0 4x0-22 2 2 x20-4x0+122 =2·x0 2x0-2x0-22+82 =2·x0, 2x0-2 令x0-2=t(0 2 t2+8 2t2 t+2 2 , 121616 化简可得f(t)=t+2t+6++2, 2tt1632t+2 则f′(t)=t+2-2-3= t3-16t3 tt, 令f′(t)=0,得t=22>2(3-1), 可知当t∈(0,2(3-1)]时,f′(t)<0, 所以函数f(t)在(0,2(3-1)]上单调递减, 当t=2(3-1)即点P的横坐标为x0=23时,△PBC的面积S最小. 3
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)