(2)由题意直线l的斜率存在，可设其方程为
y＝k(x＋3)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
将y＝k(x＋3)代入＋y＝1，
4
消去y可得(1＋4k)x＋24kx＋36k－4＝0， 所以Δ＝(24k)－4×(1＋4k)(36k－4)>0，
21即k<，
5
22
2
2
2
2
2
2
x2
2
24k36k－4
且x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
1＋4k1＋4k→→222
所以OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k(x1＋3)·k(x2＋3)＝(1＋k)x1x2＋3k(x1＋x2)＋9k
2
36k－4?－24k2?＋9k2 2
＝(1＋k)·＋3k·?1＋4k?21＋4k??
2
2
22
41k－457k＝2＝－4＋2， 1＋4k1＋4k21因为0≤k<，
5
22
57k19
所以0≤， 2<1＋4k357k7
所以－4≤－4＋2<，
1＋4k37?→→?所以OM·ON的取值范围是?－4，?. 3??
3.(2019·恩施州质检)已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，其准线L：x＝－1与x轴的交点为K，过点K的直线l与抛物线C交于A，B两点. (1)求抛物线C的方程；
→→→
(2)点A关于x轴的对称点为D，证明：存在实数t∈(0,1)，使得KF＝tKB＋(1－t)KD. (1)解 因为抛物线C：y＝2px(p>0)的准线为直线L：x＝－1， 所以－＝－1，解得p＝2.
2所以抛物线C的方程为y＝4x. (2)证明 易知点K的坐标为(－1,0)， 据题意可设直线l的方程为
22
2
2
2
px＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
??x＝my－1，联立?2
??y＝4x
整理得y－4my＋4＝0，
2
所以Δ＝16m－16>0，得m>1，
??y1＋y2＝4m，故???y1y2＝4.
22
因为点A(x1，y1)关于x轴的对称点为D， 所以D(x1，－y1). 则直线BD的方程为y－y2＝得y－y2＝得y－y2＝
y2＋y1
(x－x2)， x2－x1
(x－x2)，
y2＋y1
my2－1－my1－1
y2＋y1
(x－x2)，
my2－y1
2
4?y2?即y－y2＝?x－4?.
y2－y1??
4?y2?令y＝0，得0－y2＝?x－4?，
y2－y1??得x＝－y2·
4＝
2
y222
y2－y1y22－y2＋y1y2
4
＝4
y1y24
4
＝＝1. 4
所以直线BD恒过定点(1,0). 所以点F(1,0)在直线BD上， →→
所以不妨令DF＝tDB(t∈(0,1)). →→→因为KF＝KD＋DF， →→→所以KF＝KD＋tDB， →→→→
所以KF＝KD＋t(KB－KD)， →→→所以KF＝(1－t)KD＋tKB. 所以存在实数t∈(0,1)，
→→→
使得KF＝tKB＋(1－t)KD，命题得证.
B组 能力提高
x2y2223??
4.(2019·泰安质检)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，且经过点?－，?.
ab22??2
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(－2,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，→→→→
过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M，N，设AF＝αFM，BF＝βFN，α，β∈R，求
α＋β的取值范围.
??
解 (1)由题意可得?13
＋＝1，2a4b??a＝b＋c，
2
2
2
2
2
c2
＝，a2
解得a＝2，b＝1，
22
则椭圆方程为＋y＝1.
2
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，设M(x3，y3)， →→
则AF＝(1－x1，－y1)，FM＝(x3－1，y3)， →→
由AF＝αFM，可得－y1＝αy3， 则α＝－，
当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为
x2
2
y1y3
y1x1－1y＋y1
y＝(x－1)，即x＝， x1－1y1
代入曲线C的方程＋y＝1，
2
整理可得(3－2x1)y＋2y1(x1－1)y－y1＝0， ∴y1y3＝－
2
2
x2
2
y21
3－2x1
，
∴α＝－＝3－2x1，
当AM与x轴垂直时，A点横坐标为x1＝1，α＝1，显然α＝3－2x1也成立， ∴α＝3－2x1，同理可得β＝3－2x2， 由题意可知，直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，k≠0，
y1y3
y＝kx＋2，??2
联立?x2
＋y＝1，??2
2
2
消去y整理得(2k＋1)x＋8kx＋8k－2＝0， 由Δ＝(8k)－4(2k＋1)(8k－2)>0，
21
解得0 2 22 2 2 22 8k∴x1＋x2＝－2， 2k＋1 2 ∴α＋β＝3－2x1＋3－2x2＝6－2(x1＋x2) 8 ＝14－2∈(6,10)， 2k＋1即α＋β的取值范围是(6,10). x2y2 5.(2019·六安模拟)设椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)，其中长轴长是短轴长的2倍，过焦点且 ab垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为23. (1)求椭圆E的方程； (2)点P是椭圆E上动点，且横坐标大于2，点B，C在y轴上，(x－1)＋y＝1内切于△PBC，试判断点P的横坐标为何值时△PBC的面积S最小. 2 2 b2 解 (1)由已知a＝2b，＝3， a解得a＝23，b＝6， 故所求椭圆方程为＋＝1. 126 (2)设P(x0，y0)(2 则直线PB的方程为lPB：y－m＝即(y0－m)x－x0y＋x0m＝0， 又圆心(1,0)到直线PB的距离为1， 即 |y0－m＋x0m| x2y2 y0－mx， x0 y0－m2 ＝1， 2 ＋x0 2 化简得(x0－2)m＋2y0m－x0＝0， 同理(x0－2)n＋2y0n－x0＝0， 所以m，n是方程(x0－2)x＋2y0x－x0＝0的两个根， 所以m＋n＝ 2 2 2 －2y0－x0 ，mn＝， x0－2x0－2 2 2 4x0＋4y0－8x0 则(m－n)＝， x0－22因为P(x0，y0)是椭圆上的点， ?x0?所以y＝6?1－?， ?12? 20 2 2x0－8x0＋24 则(m－n)＝， x0－22 2 2 12x0－8x0＋242 所以S＝··x0 4x0－22 2 2 x20－4x0＋122 ＝2·x0 2x0－2x0－22＋82 ＝2·x0， 2x0－2 令x0－2＝t(0 2 t2＋8 2t2 t＋2 2 ， 121616 化简可得f(t)＝t＋2t＋6＋＋2， 2tt1632t＋2 则f′(t)＝t＋2－2－3＝ t3－16t3 tt， 令f′(t)＝0，得t＝22>2(3－1)， 可知当t∈(0,2(3－1)]时，f′(t)<0， 所以函数f(t)在(0,2(3－1)]上单调递减， 当t＝2(3－1)即点P的横坐标为x0＝23时，△PBC的面积S最小. 3
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
