§14.2 圆的方程
考纲解读
考点 1.圆的标准方程
内容解读 1.求圆的标准方程 2.圆的标准方程的应用
1.求圆的一般方程 2.圆的一般方程的应用
要求 C
五年高考统计
常考题型 预测热度
2013 2014 2015 2016 2017
填空题
★★★
解答题
填空题
★★★
解答题
2.圆的一般方程 C
分析解读 江苏高考中一般都会考查圆的方程,有时候会单独考查,有时候会和椭圆在一起综合考查.
五年高考
考点一 圆的标准方程
1.(2016天津,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为 .
22
答案 (x-2)+y=9
22
2.(2016北京,5,5分)圆(x+1)+y=2的圆心到直线y=x+3的距离为 . 答案
3.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .
答案 +y=
2
考点二 圆的一般方程
222
1.(2016浙江,10,6分)已知a∈R,方程ax+(a+2)y+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);5
22
2.(2015重庆改编,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x+y-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= . 答案 6
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 圆的标准方程
1.(2017江苏苏州暑期调研,12)圆心在抛物线y=x上,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为 .
2
答案 (x±1)+
2
=1
1 / 5
2.(苏教必2,二,2,7,变式)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是 .
答案 (x-2)+
2
=
3.(苏教必2,二,2,8,变式)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为 .
22
答案 (x-1)+(y-2)=5
4.(苏教必2,二,2,6,变式)已知圆M的圆心在x轴上,且圆心在直线l1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2,且与直线l2:2x-y-4=0相切,则圆M的方程为 .
22
答案 (x+1)+y=4
考点二 圆的一般方程
5.(苏教必2,二,2,3,变式)一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,此圆的方程为 .
22
答案 x+y-2x-12=0
2
6.(2018江苏扬州中学高三月考)二次函数y=x+bx(b≠0,b≠1)的图象与x轴交于O,A两点,交直线l:y=x于O,B两点,过O,A,B三点作圆C.
(1)求证:当b变化时,圆C的圆心在一条定直线上; (2)求证:圆C经过除原点外的一个定点.
2
证明 (1)在y=x+bx(b≠0,b≠1)中,分别令y=0,y=x,易得A(-b,0),B(1-b,1-b).
22
∵圆C过原点,∴设圆C的方程为x+y+Dx+Ey=0,
则
2
2
∴
故经过O,A,B三点的圆C的方程为x+y+bx+(b-2)y=0, 设圆C的圆心坐标为(x0,y0),
则x0=-,y0=-,∴y0=x0+1,
这说明当b变化时,圆C的圆心在定直线y=x+1上.
2222
(2)设圆C过定点(m,n),则m+n+bm+(b-2)n=0,整理得(m+n)b+m+n-2n=0, 它对任意b≠0,b≠1恒成立,∴∴
或
故当b变化时,圆C经过除原点外的一个定点,坐标为(-1,1).
7.(2016江苏姜堰期中,17)已知△ABC的顶点坐标分别是A(-1,0),B(2,),C(1,-2),O为坐标原点. (1)求△ABC外接圆的方程;
(2)设P为△ABC外接圆上任意一点,求|OP|的最大值和最小值.
22
解析 (1)设△ABC外接圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,代入A,B,C的坐标,
得解得
2
2
所以△ABC外接圆的方程为x+y-2x-3=0. (2)设圆上任意一点P(x0,y0),则+-2x0-3=0, 所以|OP|=+=2x0+3,
又△ABC外接圆的标准方程为(x-1)+y=4,所以x0∈[-1,3],
2
所以|OP|的最小值为1,最大值为9,
2 / 5
2
2
2
所以|OP|的最小值为1,最大值为3.
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:10分 时间:10分钟)
填空题(每小题5分,共10分)
22
1.(2018江苏南通中学高三测试)过圆x+y=1上任意一点P作两直线分别交圆于A、B两点,且∠APB=60°,则22
PA+PB的取值范围是 . 答案 (3,6]
2.(2017江苏天一中学质检)若第一象限内的动点P(x,y)满足++积最小的圆的方程为 .
=1,R=xy,则以P为圆心,R为半径且面
答案 (x-3)+
2
=
C组 2016—2018年模拟·方法题组
方法1 求圆的方程的方法
1.如图,已知圆O的直径AB=4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交l于M,N两点.
(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆的方程;
(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.
22
解析 如图,建立直角坐标系,得A(-2,0),B(2,0),☉O的方程为x+y=4,直线l的方程为x=4.
(1)当点P在x轴上方时, 因为∠PAB=30°,
所以点P的坐标为(1,),
所以lAP:y=(x+2), lBP:y=-(x-2). 将x=4分别代入,
得M(4,2),N(4,-2),
所以线段MN的中点坐标为(4,0),MN=4.
22
所以以MN为直径的圆的方程为(x-4)+y=12. 同理,当点P在x轴下方时,
22
所求圆的方程仍是(x-4)+y=12.
22
综上,以MN为直径的圆的方程为(x-4)+y=12. (2)证明:设点P的坐标为(x0,y0),则y0≠0,
3 / 5
所以+=4(y0≠0), 所以=4-.
易知lPA:y=(x+2),
lPB:y=(x-2),
将x=4分别代入,
得yM=,yN=,
所以M,N,
所以MN==,
线段MN的中点坐标为,
以MN为直径的圆O'截x轴所得的线段长度为
2
=
=
=4.
则圆O'与x轴的两交点坐标分别为(4-2,0),(4+2,0).
2
又(4-2)=28-16<4,
2
(4+2)=28+16>4,
所以圆O'必过圆O内定点(4-2,0).
方法2 与圆有关的最值问题的求解方法
2222
2.(2018江苏扬州中学月考)在直角坐标系xOy中,圆C1:x+y=8,圆C2:x+y=18,点M(1,0),动点A、B分别在圆C1和圆C2上,满足
⊥
,则|
+
|的取值范围是 .
答案 [4,6]
22
3.已知实数x,y满足关系式:x+y-6x-4y+12=0,点P(x,y),A(-1,0),B(1,0). (1)求的最大值和最小值; (2)求x-y的最大值和最小值;
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(3)求|PA|+|PB|的最大值与最小值.
22
解析 (1)圆C:(x-3)+(y-2)=1,圆心C(3,2),半径为1. 设=k,则当直线y=kx与圆C相切时,取得最值.
22
此时=1,解得k=,
∴的最大值为,最小值为.
(2)设x-y=t,则当直线y=x-t与圆C相切时,x-y取得最值. 此时=1, ∴t=1±,
∴x-y的最大值为1+,最小值为1-.
222
(3)设|PA|+|PB|=m,
则有x+y=
22
,m≥2.
2
当圆x+y=
22
与圆C相切时,|PA|+|PB|取得最值,
22
此时
2
±1=,
,最小值为30-4
.
解得m=30?4.
22
∴|PA|+|PB|的最大值为30+4
5 / 5
高考数学一轮复习第十四章平面解析几何初步14.2圆的方程讲义
