八年级上册
第一章 勾股定理
1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
a2?b2?c2.
我国古代把直角三角形中较短直角边称为勾，较长直角边称为股， 斜边称为弦，因此把此定理称为勾股定理.
几何语言：在Rt△ABC中，△C=90°，由勾股定理得: a?b?c
(常见书写：c?a?b或a?c?b或b?c?a)
注意：勾股定理只适合于直角三角形；用勾股定理时要分清直角边和斜边.
辨识应用：在Rt△ABC中，△A=90°，由勾股定理得:
c?b?a
2、勾股定理证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变， ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 常见方法如下：
内弦图模型：△4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD，
1即：4?ab?(b?a)2?c2，
2ADHEFbcGaBC222222222222 ∴化简得：a?b?c．
a222bcab外弦图模型：△4S△?S小正方形?S大正方形，
c122即：4?ab?c??a?b?，
2222bccba △化简得：a?b?c．
111总统模型：∵S梯形?(a?b)?(a?b)，S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2，
222△化简得：a?b?c．
222aAaDbccEaBC b
拓展归纳：以直角三角形三边向外作正方形、等边三角形、半圆、等腰直角三角形所得图形面积满足：S1?S2?S3
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：在△ABC中，若计算得a?b?c， △△ABC是直角三角形，△C=90°
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 （定理中a，b，c及a2?b2?c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2?c2?b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）. 4、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2?b2?c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2?1,2n,n2?1（n?2,n为正整数）； 2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1（n为正整数）m2?n2,2mn,m2?n2（m?n,m，n为正整数） 222 5、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关. 6、勾股定理与勾股定理逆定理的应用 （1）圆柱中的最短问题（立体图形转平面图形） ①、瘦高型：在Rt△ABC中，AB?AC2?BC2 ②、矮胖型：最短=AD+BD 注：计算此类问题，当无法判断时候，可以两种都计算比较，最后写出最短路径. （2）长方体中的最值问题 ①若a＜c＜b，那么表面A到B的最小距离为： d??a?c?2?b2 ②内部A到B的最小距离为： d?a2?b2?c2 （3）折叠中的方程问题 例：在矩形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，将△ADE沿AE折叠使得点D落在边BC上的点F上，求CE的长 分析：设CE=xcm，其他线段用x表示，在Rt△CEF中，不难用勾股定理得到一个关于x的方程，从而求出未知数.
北师大版八年级上册几何知识点归纳总结
