第9讲 函数模型及其应用
[考纲解读] 1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，掌握求解函数应用题的步骤．(重点)
2.了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较． 3.建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的)，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个冷考点．预测2020年高考将主要考查现实生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等热点问题中的增长或减少问题，以一次函数、二次函数、指数、对数型函数及对勾函数模型为主，考查考生建模能力和分析解决问题的能力.
1．七类常见函数模型
函数模型 一次函数模型 反比例函 数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 “对勾”函数模型 2．指数、对数、幂函数模型的性质
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) kf(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) xf(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) af(x)＝x＋(a>0) x 1
3．解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：
1．概念辨析
(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x(α>0)的增长速度．( )
(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) (3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )
2
xα答案 (1)√ (2)√ (3)√
2．小题热身
(1)(2019·湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：
x y
则最能体现这组数据关系的函数模型是( ) A．y＝2
x＋1
2.01 3 3 8.01 4.01 15 5.1 23.8 6.12 36.04 －1 B．y＝x－1 D．y＝x
2
3
2
C．y＝2log2x 答案 B
解析 根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x－1.
(2)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
答案 B
解析 当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.
(3)据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满足关系y＝alog3(x＋2)，观察发现2012年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2018年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )
A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 答案 C
解析 当x＝1时，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以到2018年冬，即第7年，
y＝3000×log3(7＋2)＝6000，故选C.
(4)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m.(围墙厚度不计)
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2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第9讲函数模型及其应用讲义理(含解析)
