课时跟踪检测（十五） 复数代数形式的乘除运算
层级一 学业水平达标
1．复数(1＋i)(2＋3i)的值为( ) A．6－4i C．6＋4i
2
2
B．－6－4i D．－6＋4i
解析：选D (1＋i)(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( ) A．－2－i C．2－i
B．－2＋i D．2＋i
1＋i
解析：选C z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C.
i
3．(广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( ) A．2－3i C．3＋2i
2
B．2＋3i D．3－2i
解析：选A ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i＝2＋3i，∴z＝2－3i. 4．(1＋i)－(1－i)的值是( ) A．－1 024 C．0
20
20
20
20
B．1 024 D．512
210
210
10
10
10
解析：选C (1＋i)－(1－i)＝[(1＋i)]－[(1－i)]＝(2i)－(－2i)＝(2i)－(2i)＝0.
2＋ai
5．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
1＋iA．－4 C．3 解析：选D
2＋ai
＝1＋i
＋a＋
－－
B．－3 D．4 ＝
10
a＋2a－2
2＋2
i＝3＋i，
a＋2??2＝3，所以?a－2
??2＝1，
解得a＝4，故选D.
6．在复平面内，复数z＝i(1＋3i)对应的点位于第________象限． 解析：∵z＝i(1＋3i)＝i＋3i＝－3＋i， ∴复数z对应的点为(－3,1)，在第二象限． 答案：二
2
1111
7．设i为虚数单位，则＋2＋3＋4＝________.
iiii1111
解析：＋2＋3＋4＝－i－1＋i＋1＝0.
iiii答案：0
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
a1－i解析：∵a，b∈R，且a1－i＝1－bi，
则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，
∴???
a＝1－b，?∴?
，
?
0＝1＋b.
??a＝2??
b＝－1.
∴|a＋bi|＝|2－i|＝22
＋－2
＝5.
答案：5 9．计算：－－＋－＋i＋－3－2i
2－3i. 解：因为
－－
＋
－＋i＝
－－i2
－1＋i
＝－－－2＋i ＝i－1，－3－2i
－3－＋2－3i＝－
＋
＝－13i13
＝－i，
所以
－－－＋i＋－3－2i
＋
2－3i
＝i－1＋(－i)＝－1.
10．已知z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2
＋b2
－3b－3ai＝1＋3i，
2
2
则有???
a＋b－3b＝1，???－3a＝3，
解得?
??a＝－1，??b＝0，
或?
?a＝－1，??b＝3.
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级二 应试能力达标
1．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A C．C
B．B D．D
解析：选B 设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＜0，b＞0，则z的共轭复数为a－bi，其中
a＜0，－b＜0，故应为B点．
1＋ai
2．设a是实数，且∈R，则实数a＝( )
1＋iA．－1 C．2
B．1 D．－2
1＋ai1＋ai
解析：选B 因为∈R，所以不妨设＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，
1＋i1＋i
??x＝1，
所以有?
?a＝x，?
所以a＝1.
3．若a为正实数，i为虚数单位，?A．2 C.2 解析：选B ∵
?a＋i?＝2，则a＝( )
??i?
B.3 D．1
a＋i
i
＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴?
?a＋i?＝|1－ai|＝1＋a2＝2，解得a??i?
＝3或a＝－3(舍)．
－1＋3
4．计算
＋A．0 C．i
解析：选D 原式＝
36－2＋i＋的值是( ) 1＋2i
B．1 D．2i
－1＋3
23＋＋]
3
－2＋
＋－－
＝
－1＋3
3
3
＋
133－＋i22－2＋4i＋i＋21i＝＋i＝＋i＝
5－i－i－
＋i＝2i.
5．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________． 解析：＝＝
z1
z2
z1a＋2ia＋＋
＝
z23－4i9＋16
＋
25
3a＋4ai＋6i－8＝ 25
a－a＋
，
?3a－8＝0，?z1
∵为纯虚数，∴?z2??4a＋6≠0，
8
∴a＝. 3
8答案： 3
6．i是虚数单位，则?
?1＋i?4＝________.
??1－i?
22
?1＋i?4＝?解析：????1－i??
答案：1 7．设复数z＝2
＋－
?2＝?2i?2＝1. ??－2i????
－
＋
＋2＋i
2
2
，若z＋＜0，求纯虚数a.
2
az解：由z＋＜0可知z＋是实数且为负数．
azazz＝
＝
＋
＋2＋i
2
－
＝2i＋3－3i
2＋i
3－i
＝1－i. 2＋i
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m∈R且m≠0)，则
amiz2＋＝(1－i)2＋ z1－i
＝－2i＋
mi－m2
??＝－＋?－2?i＜0， 2?2?
m－＜0，??2∴?m??2－2＝0，
mm
＋
2
∴m＝4，∴a＝4i.
3
8．复数z＝a＋b1－i
且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，z对
应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝
＋
＋
1－i
(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a＋b＝4，①
∵复数0，z，z对应的点构成正三角形，
2
2
∴|z－z|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.② 又∵z对应的点在第一象限， ∴a＜0，b＜0. 由①②得?
?a＝－3，?b＝－1.
故所求值为a＝－3，b＝－1.
浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测十五复数代数形式的乘除运算新人教A版选修2_2
