初三数学师生讲学稿
执笔： 审核：初三备课组 课题：圆的对称性 课型：新授课 时间： 教学目标：
1．知识与技能：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
2．过程与方法： 经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
3．情感态度与价值观： 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神.
教学重点：垂径定理及其逆定理.
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明. 教学设计：
一、预习检测
1._____________________________________________________是轴对称图形.
2. 圆是_________________图形,其对称轴为_________________. 3. 如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E． 则有AE=_____， _____=
， ____=
．
4. AB是⊙O直径，AB=4，F是OB中点，弦CD⊥AB于F，则CD=_________ 5. ⊙O直径为8，弦AB＝42 ，则∠AOB＝＿＿＿＿＿。
6. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
二、讲授新课 同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
（圆是轴对称图形．过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．） 你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．
我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。这样便可知圆有无数条对称轴．
圆是轴对称图形。过圆心的任意一条直线都是对称轴．
C
做一做
MABOD按下面的步骤做一做:
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图． 教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题： 1．通过第一步，我们可以得到什么?
（可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．）
2．很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢?
（AM＝BM，AC＝BC，AD =BD，因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．） 3．还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系? 如右图示，连接OA、OB得到等腰△ABC，即OA=OB，C因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM，又⊙OMAB关于直径CD对称，所以点A与点B关于CD对称，当
O圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC
重合AD与BD重合．因此AM＝BM，AC＝BC，AD =BD ） 4．在上述操作过程中，你会得出什么结论?
D 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的
弧．
[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
下面，我们一起看一下定理的证明： 如上图，连接OA、OB，则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵ OA=OB，OM=OM ∴ Rt△OAM≌Rt△OBM ∴ AM=BM
∴ 点A和点B关于CD对称 ∵ ⊙O关于直径CD对称
∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合，AC和BC重合，AD 和BD重合 ∴ AC＝BC，AD =BD 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：
?AM?BMCD是直径?????AD?BDCD?AB于M???AC?BC
为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
例题讲解
通过求解例，来熟悉垂径定理以及常见的辅助线 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
拓展延伸
1. 在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,试求AB和CD的距离.
2.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm或6cm, (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm 随堂练习
三、课堂小结
1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 四、课后作业
1．课本习题P93 1、2； 2．复习本堂课内容。
课堂检测
1. AB是⊙O的弦，C为⊙O上的一点，弧AC，CB的长比是1：2，弦BC＝12cm,则⊙O半径为＿＿＿＿＿＿cm
2. 圆内一弦与直径相交成30°，且分直径为1cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为_____
.
3．已知⊙O中，半径OD⊥直径AB，F是OD中点，弦BC过F点，若⊙O半径为R,则弦BC长＿＿＿＿＿
4. ⊙O的弦 AB为5cm，所对的圆心角为120°，则AB的弦心距为 。 5. 过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 . 6. 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
7. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求： ⑴桥拱半径
⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？
C F M A D O B
数学：5.2圆的对称性（第2课时）讲学稿（苏科版九年级上）
