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2020届江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县高三下学期适应性考试数学试题(解析版)

由天下分享时间：2025/1/22 3:14:04 加入收藏我要投稿点赞

2020届江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县高三下学期适应

性考试数学试题

一、填空题

1．已知集合A?{1,3,a}，B?{4,5}.若A?B?{4}，则实数a的值为______. 【答案】4

【解析】两个集合的交集为4，说明4?A且4?B．【详解】

A?B??4?

?4?A且4?B

?a?4

【点睛】

本题考查了交集的定义，意在考查学生对交集定义的理解，属于基础题. 2．已知复数z满足?2?i?z?1?i，i为虚数单位，则复数z?_________ 【答案】z?13?i 55【解析】根据复数求法运算，即可求得答案．【详解】

?2?i?z?1?i

?z?1?i?1?i??2?i?? 2?i?2?i??2?i?1?i??2?i?1?3i? ??55?13?i 5513?i． 55故答案为：z?【点睛】

本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数除法的运算方法，考查了分析计算能力，属于基础题．

3．某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为

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________.

【答案】10；

【解析】根据茎叶图，先求得这五位同学成绩的平均数，再由方差公式即可得解. 【详解】

由茎叶图可知，这五位同学的成绩分别为122,128,129,130,131. 所以这五位同学成绩的平均值为

122?128?129?130?131?128，

5由方差公式可知这五位同学成绩的方差为

122222s2???122?128???128?128???129?128???130?128???131?128??

???5?1??36?0?1?4?9??10 5故答案为：10. 【点睛】

本题考查了几个数据方差的求法，属于基础题.

4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S的值是________.

【答案】17；

【解析】模拟程序运行的过程，即可得出程序运行后的输出结果. 【详解】

解：模拟程序运行的过程如下：

第一步：i?1，i?i?2?3，S?2?3?3?9；

第二步：i?3?6，i?i?2?3?2?5，S?2?5?3?13；第三步：i?5?6，i?i?2?5?2?7，S?2?7?3?17；第四步：i?7?6，不符合条件，所以输出S?17 故答案为：17 【点睛】

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本题考查程序语言的应用问题，模拟程序运行的过程是常用的方法，属于基础题. 5．一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则A与B相对而坐的概率为________.

【答案】

1； 3【解析】利用简单的排列知识求出所有可能情况和A与B相对而坐的情况，根据古典概型概率计算公式可得结果. 【详解】

3B，C，D三人随机坐到其他三个位置上的所有可能情况有A3?6种情况， 2A2?2种情况，故概率P?而A与B相对而坐的情况有 21?， 63故答案为：【点睛】

1. 3本题主要考查了等可能事件的概率公式的简单应用，属于基础题.

x2y2?1的顶点到其渐近线的距离为________. 6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线?169【答案】

12； 5【解析】根据点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】

x2y2?1的一个顶点为(4,0)，根据题意，可得双曲线?1693双曲线的一条渐近线为y?x，即3x?4y?0，

4则点到直线的距离公式d?3?4?4?032?42?12， 5故答案为：【点睛】

12 5本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，属于基础题

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??????7．若函数f(x)?sin??x??(0???6)图象的一个对称中心为?,0?，则函数f(x)的

3???6?最小正周期为________. 【答案】

?； 2【解析】由已知得，???6??3?k?,??6k?2(k?Z)，又由0???6，得到?的

值，然后利用周期公式求解即可. 【详解】由题意得，???6??3?k?,??6k?2(k?Z)，

0???6，所以??4

f(x)的最小正周期为T?2??? 42故答案为：【点睛】

? 2本题考查三角函数及其性质，属于基础题.

8．某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同.已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为?，弧长为6?cm的扇形，则该冰淇淋的体积是________cm3.

【答案】30?

【解析】利用圆的周长公式和扇形的弧长公式，求出圆锥底面半径和母线长，进而求出圆锥的高，再借助圆锥的体积公式和球的体积公式即可得解. 【详解】

圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为?，弧长为6?cm的扇形，

656?6?l??5?圆锥底面半径为r??3，圆锥母线长为6，

?2?5圆锥的高为h?l2?r2?52?32?4，

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半个冰淇淋小球的半径为R?3，

114114?该冰淇淋的体积为V??r2h???R3????32?4?????33?30?，

323323故答案为：30?. 【点睛】

本题考查扇形的弧长公式、圆锥的体积公式及球的体积公式，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.

x?2??x?19．已知函数f(x)??2，对任意的x1,x2?R，x1?x2，有

kx?x?1x?2???f?x1??f?x2????x1?x2??0，则实数k的取值范围是________.

【答案】???,??； 2??1??【解析】由题意得函数f?x?在R上单调递减，根据分段函数的性质列出不等式组解出即可. 【详解】

∵??f?x1??f?x2????x1?x2??0，∴函数f?x?在R上单调递减，

?k?0?11?1???2∴??，解得k??，即实数k的取值范围是???,??，

2?2??2k??4k?2?1??1故答案为：???,??.

2??1??【点睛】

本题主要考查了函数的单调性的判断及分段函数的单调性的应用，属于中档题.

22m?1?x??2?m?2?y?4?m?1?010．已知圆C:(x?1)?(y?2)?4，若直线l:?2?与圆C交于A,B两点，当弦AB的长度最小时，则正实数m=________. 【答案】

1. 2【解析】先确定直线l过定点且在圆内，当弦AB的长度最小时得出定点与圆心的连线与l垂直，根据斜率关系求得m. 【详解】

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解：将直线l的方程整理为?x?2y?1?m?2x?2y?4??0，由{?x?2y?1?02x?2y?4?0得：

?x?1.?直线l经过定点M?1,1?.?y?1??点M在圆C的内部，C:(1?1)2?(1?2)2?4，

故直线l与圆C恒有两个交点A,B.圆心C?1,2?，当弦AB的长度最小时，l?MC.由于kMC不存在，所以kl?0,即2m?1?0，?m?故答案为：m?【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

11．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1,,,1. 21. 21112341n,.①；第二步：将数列①的各项乘以，得n2到一个新数列a1,a2,a3,…,an.则根据以上两步可得

a1a2?a2a3?a3a4???an?1an?________.n?2,n?N?

【答案】

??n(n?1) 4【解析】先求出新数列，再利用裂项相消法求和，进而得解. 【详解】

由题意知，得到的新数列为1?所以

n1n1n，?，?，22232，

1n?， n2a1a2?a2a3?a3a4??an?1ann2?1?n2?11?n2?11???1???????????4?2?4?23?4?34?n2?11????? 4?n?1n?n2??1??11??11?1???1???1????????????????? 4??2??23??34??n?1n??n2?1???1?? 4?n??n(n?1) 4故答案为：

n(n?1). 4第 6 页共 20 页

【点睛】

本题主要考查裂项相消法求和，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 12．如图，在△ABC中，A?2?，过点A作AC的垂线交BC于点D．若△ABC的面3积为43，则AD的最大值是________.

【答案】6

【解析】先根据△ABC的面积得bc?16，再根据△ABD的面积与△ADC的面积和为

43得AD?【详解】

163,最后根据基本不等式求最值. 2b?c因为若△ABC的面积为43，所以112?bcsinA?43?bcsin?43?bc?16 223因为△ABD的面积与△ADC的面积和为43，

所以

1?1163 c?ADsin?b?AD?43?AD?2622b?c从而AD?163163?=6，当且仅当2b?c?42时取等号， 2b?c22bc因此AD的最大值是6 故答案为：6 【点睛】

本题考查三角形面积、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 13．已知C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，若AB=5，PQ=1，

PQ与AB的夹角为120?，则AP?BQ?________.

【答案】?3； 2【解析】由向量的线性运算化简得到

AP?BQ?(AC?CP)?(BC?CQ)?(AC?CB)?CQ?CP?CQ

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?AB?CQ?CP?CQ，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

【详解】

由C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，且PQ与AB的夹角为120?，可得AC?BC，且CP??CQ

则AP?BQ?(AC?CP)?(BC?CQ)?AC?BC?AC?CQ?CP?BC?CP?CQ

?0?AC?CQ?CQ?BC?CP?CQ?AC?CQ?CQ?CB?CP?CQ ?(AC?CB)?CQ?CP?CQ?AB?CQ?CP?CQ

11113?AB?CQcos120?CP?CQcos180?5??(?)???(?1)??.

22222故答案为：?【点睛】

3. 2本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的加法、减法的运算法则，熟练应用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

14．已知函数f(x)?xln(x?3)?2，若不等式f(x)?2a?0有解，则整数a的最小值为________. 【答案】?1

【解析】由函数f(x)解析式及不等式f(x)?2a?0，分离参数并构造函数

g?x??xln(x?3)，经过两次求导，可判断g??x?的单调性，结合零点存在定理可知存

在x0???2,?1?使得g??x0??0，再求出g?x0?的范围，进而由不等式有解，即可求得整数a的最小值. 【详解】

函数f(x)?xln(x?3)?2，x???3,???，且不等式f(x)?2a?0有解，

所以xln(x?3)?2?2a?0，即xln(x?3)?2?2a有解，只需?xln(x?3)?min?2?2a，令g?x??xln(x?3)，x???3,???，则g??x??ln(x?3)?xx，设h(x)?ln(x?3)? x?3x?3第 8 页共 20 页

则h??x??1x?3?xx?6???0， x?3?x?3?2?x?3?2即g??x??ln(x?3)?x在x???3,???内单调递增， x?3?323?3???ln2?1?0，而g?????ln(??3)?322????3211?112g???1??ln(?1?3)??ln2??ln4?lne2?0，

?1?32所以存在x0????3?,?1?使得g??x0??0， ?2?而当x0???3,x0?时g?x?单调递减，当x0??x0,???时g?x?单调递增，所以g?x?在x0处取得极小值，即为最小值. 此时ln(x0?3)??x0， x0?3g?x?min2x03?g(x0)?x0ln(x0?3)??,x0?(?,?1)，

x0?32x23设u(x)??,x?(?,?1)，

x?32u?(x)??x(x?6)3?0,x?(?,?1)恒成立， 2(x?3)2x23u(x)??,x?(?,?1)单调递增，

x?32331?g(?)?g(x0)?g(?1)，即???g(x0)??，

222又因为?xln(x?3)?min?2?2a，即g(x0)?2?2a,a?1g(x0)?1 2而?715?g(x0)?1??，所以整数a的最小值为?1. 424故答案为：?1. 【点睛】

本题考查了导数与函数单调性、极值与最值的综合应用，零点存在定理的应用，由不等式有解求参数的值，属于中档题.

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二、解答题

15．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PD?平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．

（1）求证：平面PBC?平面PCD；（2）求证：AD∥EF．【答案】(1)见证明；(2)见证明

【解析】（1）推导出BC⊥CD，PD⊥BC，由此能证明BC⊥平面PCD,进而证明平面

PBC?平面PCD（2）由AD∥BC，得AD∥平面PBC，由此能证明AD∥EF．

【详解】

（1）因为PD?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD?BC．因为底面ABCD是矩形，所以CD?BC．

因为CD?PD?D，CD,PD?平面PCD，所以BC?平面PCD．因为BC?平面PBC，所以平面PBC?平面PCD （2）底面ABCD是矩形，所以AD∥BC

因为BC?平面PBC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC．

因为AD?平面ADFE，平面ADFE?平面PBC?EF，所以AD∥EF．【点睛】

本题考查线面垂直、面面垂直，线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．

16．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinB?sinC)(sinB?sinC)?sinA(sinB?sinA).

（1）若ABC面积为3，求ab的值； 2（2）若c?b?2a，求cosA.

3第 10 页共 20 页

【答案】（1）ab=4（2）

26?1 6【解析】（1）通过正弦定理将角化为边化简得a2?b2?c2?ab，根据余弦定理和三角形面积公式可得结果；

（2）通过正弦定理将边化为角，根据三角形内角和定理和两角和与差的正弦公式可得

??????????1??sin?A???，根据三角恒等式可得cos?A??，最后由cosA?cos??A????得

6?6?6?3?6????结果. 【详解】

（1）因为(sinB?sinC)(sinB?sinC)?sinA(sinB?sinA)，在ABC中，由正弦定理

abc??，得(b?c)(b?c)?a(b?a)， sinAsinBsinC化简得a2?b2?c2?ab，

a2?b2?c21在ABC中，由余弦定理得，cosC??，

2ab2因为C?(0,?)，所以C??31又ABC面积为3，可得absinC?3，所以ab=4.

22（2）因为c?b?2a，

3，

在ABC中，由正弦定理

abc??， sinAsinBsinC2所以sinC?sinB?2sinA

32因为A?B?C??，所以sinC?sin(A?C)?2sinA

3?2????由（1）得C?，所以sin?sin?A???2sinA，

333??3??1?333化简得sinA?，所以sin?A???. cosA?6?3?223因为0?A????2?，所以??A??， 3662????22?2?所以cos?A???1?sin?A???，

6?6?3????????????????所以cosA?cos??A?????cos?A??cos?sin?A??sin

6?6?6?66?6????第 11 页共 20 页

?2231126?1 ????32326【点睛】

本题主要考查了通过正弦定理实现边角的互化，三角形面积公式以及余弦定理的应用，通过三角恒等式和两角和与差的公式进行化简求值，属于中档题.

x2y2317．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，ab2短轴长为2，直线l与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在以原点O为圆心的圆满足：此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由.

1x2【答案】（1）?y2?1（2）存在；定值?，圆x2?y2?5

44?2b?2?3?c?1【解析】（）首先根据题意列出方程组?，再解方程组即可得到答案. ?a2222?a?b?c?（2）首先假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x?y?r(r?0)，分别讨论斜率存在和斜率不存在的情况，让直线和椭圆，直线与圆联立，利用韦达定理计算即可得到答案. 【详解】

（1）设椭圆的焦距为2c，

222?2b?2??a?23?c?由题意得：?，解得?. a2b?1??222?a?b?c?x2所以椭圆的方程为?y2?1；

4第 12 页共 20 页

（2）结论：存在符合条件的圆，此圆的方程为x2?y2?5，直线OP，OQ的斜率之积为定值?1. 4222证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x?y?r(r?0). 当直线l的斜率存在时，设直线l:y?kx?m，设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，

?y?kx?m?2221?4kx?8kmx?4m?4?0，由?x2，解得??2??y?1?4因为直线l与椭圆有且只有一个公共点，所以??64km?4?1?4k所以m2?1?4k2

22?2???4m2?4?0，

??y?kx?m1?k2?x2?2kmx?m2?r2?0，由?222得??x?y?r?2222??1?4r?rk?m?0??2km?所以?x1?x2? 21?k??m2?r2?x1?x2?1?k2???所以kOP?kOQ22y1y2?kx1?m??kx2?m?kx1x2?km?x1?x2??m???? x1x2x1x2x1x2m2?r2?2kmk??km??m2221?k1?k? 22m?r1?k224?r2k2?1m2?r2k2?22?2 2m?r4k?1?r????24?r12要使kOP?kOQ为定值（与k无关），则，即?r?5. 241?r所以当圆的方程为x?y?5，圆与直线l相交于P,Q两点，直线OP，OQ的斜率之积为定值?221. 4当直线l的斜率不存在时，直线l为x??2，此圆与直线l相交于P,Q.

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此时，P(?2,1)，Q(?2,?1)满足kOP?kOQ??221， 4综上所述，存在满足条件的圆x?y?5，

此圆与直线l相交于P,Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定值?【点睛】

本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆，直线与圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于难题.

18．如图所示，某地区打算在一块矩形地块上修建一个牧场（ABCDEF围成的封闭区域）用来养殖牛和羊，其中AF=1，AB=10，BC=4，CD=7（单位：百米），DEF是一段曲线形马路.该牧场的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域，该区域用来养殖羊，其余区域养殖牛，且MP=PQ，牧场大门位于马路DEF上的M处，一个观察点P位于AB的中点处，为了能够更好观察动物的生活情况，现决定修建一条观察通道，起点位于距离观察点P处1百米的O点所示位置，终点位于Q处.如图2所示，建立平面直角?k?2?x??1?,. 坐标系，若M(x, f(x))满足f(x)??x??ax?b,?4?x??21. 4

（1）求f(x)的解析式；

（2）求观察通道OQ长度的最小值.

?4?,?2?x??1??x【答案】（1）f(x)??（2）32百米

1?x?3,?4?x??2??2【解析】（1）依题意求出点A(?4,0)，P(1,0)，D(?1,4)，F(?4,1)代入解析式即可求解；

（2）过点M，Q分别作x轴的垂线，垂足为M'，Q'，可得Q(1?f(x),1?x)，再对x分类讨论，利用导数及二次函数的性质求出最小值；【详解】

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解：（1）因为AB=10，P是AB的中点，所以AP=5，

又OP=1，所以AO=4，所以A(?4,0)，P(1,0)，因为CD=7，BC=4，AF=1所以D(?1,4)，F(?4,1) 由f(?1)??k?4得，k=-4，所以E(?2,2).

1???2a?b?2,?a?故f(?2)?2，又f(?4)?1，所以?解得?2，

??4a?b?1,??b?3?4?,?2?x??1??x所以f(x)??

1?x?3,?4?x??2??2（2）过点M，Q分别作x轴的垂线，垂足为M'，Q'，

则?PQQ'??QPQ'??2，

又因为PM⊥PQ，所以?MPM'??QPQ'??2

所以?MPM'??PQQ'，又因为PM=PQ，所以MPM'?PQQ'，所以，由P(1,0)，可得Q(1?f(x),1?x)，

4???4?①若?2?x??1，设M?x,??，则Q???1,1?x?，

x???x?1684?4??4???OQ????1??(1?x)2?x2?2?2x??2??x???2?x???6. xxx?x??x???令t?x?4，则OQ?t2?2t?6?(t?1)2?7 x224x2?4t'?1?2?，因为?2?x??1，所以t'?0

xx2第 15 页共 20 页

所以t?x?4在(?2,?1] 上单调减，所以t?[?5,?4) x设g(t)?(t?1)2?7，则g(t)在[?5,?4)上单调减所以g(t)?g(?4)?18，所以OQ?32 ?1??1?②若?4?x??2，设M?x,x?3?，则Q?x?4,1?x?，

?2??2?1252?1?OQ??x?4??(1?x)2?x?4x?16?1?2x?x2?x?2x?17，

44?2?y?52x?2x?17在[?4,?2]上单调递减，所以x??2时，OQmin?18?32， 42所以OQ的长度的最小值为32百米. 答：观察通道OQ的长度的最小值为32百米【点睛】

本题考查待定系数法求函数解析式，利用导数研究函数的最值，属于中档题. 19．数列{an}的前n项和为Sn，且满足(n?2)Sn?nSn?1?n?0，n?N*，n?2，a2?2. （1）求数列{an}的通项公式；

n11（2）记bi?1?2?2，Tn???bi?1?.

aiai?1i?1①求Tn；

②求证：Tn?1lnTn?lnTn?1. 【答案】（1）an?n（2）①

n②证明见解析； n?1【解析】（1）利用公式an?Sn?Sn?1得到(n?2)an?(n?1)an?1?1?0，再迭代一次得到数列{an}为等差数列，计算得到答案.

n11（2）bi?1??，利用裂项相消法得到Tn?，转化为

ii?1n?1n?1n?1n?2n?2lnlnxlnxnn?n?1n?1，构造函数f(x)?，计算函数单调性得到证明.

n?1n?2x?1?1?1nn?1【详解】

（1）因为(n?2)Sn?nSn?1?n?0，所以n=2时，S1=1，即a1=1.

因为n≥2时，(n?2)Sn?nSn?1?n?0，即2Sn?nan?n，n?1时也适合该式.

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所以n≥2时，2Sn?nan?n，2Sn?1?(n?1)an?1?n?1，

两式相减得(n?2)an?(n?1)an?1?1?0，则(n?1)an?1?nan?1?0，两式相减得2(n?1)an?(n?1)an?1?(n?1)an?1?0，n≥2. 所以2an?an?1?an?1?0，n≥2，所以an?1?an?an?an?1.

a2=2，所以数列{an}为等差数列，因为a1=1，所以公差d=1，所以an?1?(n?1)?1?n. （2）①因为an=n，所以

11111i2(i?1)2?(i?1)2?i2i(i?1)?1??1??1??bi?1?2??， 222i(i?1)i(i?1)ii?1i(i?1)i(i?1)所以Tn????11??11??11????????????12??23??34?1?1n?1????1??， ?n?1n?1?nn?1?②要证Tn?1lnTn?lnTn?1，只要证

n?1nn?1ln?ln， n?2n?1n?2n?1n?1n?2n?2lnlnn?1n?2nn?n?1n?1. ?(n?2)ln只要证(n?1)ln，即证

n?1n?2nn?1?1?1nn?1设x?x?1?lnxxlnxn?1?，x>1，令f(x)?，x>1，则f(x)?， 2(x?1)nx?1'设g?x??x?1?lnx，x?1，则g?x??1?1?0，函数单调递增， x故g?x??g?1??0，故x>1时，x?1?lnx?0，故f?(x)?0在(1,??)恒成立. 所以f(x)在(1,??)上单调递增，因为

n?1n?2??1，所以nn?1?n?1??n?2?f???f??，所以所证不等式成立. ?n??n?1?【点睛】

本题考查了求数列的通项公式，裂项相消法求和，证明数列不等式，构造函数确定单调性是解题的关键.

20．已知f(x)?xex，g(x)?a(x?lnx)(a?R) （1）求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)，g(x)在其公共点P?x0,y0?处切线相同，求实数a的值；（3）记F(x)?f(x)?g(x)，若函数F(x)存在两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）函数的单调减区间为：(??,?1)；增区间为：(?1,??)（2）a?e（3）

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a>e

【解析】（1）根据f(x)?xex，求导，由f'(x)?0求减区间，由f'(x)?0求增区间. ?1?（2）由g(x)?a(x?lnx)，求导g'(x)?a?1??，根据f(x)，g(x)在其公共点P?x0,y0?x???x0ex0?a?x0?lnx0??处切线相同，由??1?求解. x0x?1e?a?1?????0x?0??（3）易得F(x)?xe?a(x?lnx)，x>0.，求导F'(x)?x(x?1)?xex?a?x，令F'(x)?0得，

xex?a?0，然后分a≤0和a>0两种情况讨论求解.

【详解】

x（1）因为f(x)?xe，

所以f'(x)?(x?1)ex?0，得x=-1，

当x<-1时，f'(x)?0；当x>-1时，f'(x)?0.

所以函数的单调减区间为：(??,?1)；增区间为：(?1,??). ?1?（2）由g(x)?a(x?lnx)，g'(x)?a?1??.

x??因为点P?x0,y0?为函数f(x),g(x)的公共点，且函数f(x),g(x)在点P处的切线相同，

?x0ex0?a?x0?lnx0??所以??1?，且x0?0. x0??x0?1?e?a?x?1??0??x??x0e0?a?x0?lnx0?所以?， x0xe?a?0?即a?x0?lnx0?1??0，显然a≠0，所以x0?lnx0?1?0. 设?(x)?x?lnx?1，由?'(x)?1?又?(1)?0，所以x0?1,a?e.

（3）由F(x)?f(x)?g(x)得，F(x)?xex?a(x?lnx)，x>0.

1?0得，?(x)在(0,??)上是单调增函数， x第 18 页共 20 页

x?1?(x?1)?xe?a?则F'(x)?(x?1)e?a?1???，

x?x?x令F'(x)?0得，xex?a?0.

设s(x)?xex?a，由（1）知，s(x)在(0,??)上是单调增函数. 1°当a≤0时，由x>0得，s(x)?s(0)??a?0，

所以F'(x)?0，所以F(x)在(0,??)上是单调增函数，至多1个零点，不符，舍去.

a2°当a>0时，因为s(0)??a?0，s(a)?ae?1?0，

??由零点存在性定理，s(0)?s(a)，s(x)在(0,??)上是单调增函数且连续，所以存在唯一x1?(0,a)，使得s(x)?0，即x1ex1?a?0.

当x??0,x1?时，F'(x)?0，F(x)单调递减；当x??x1,???时，F'(x)?0，F(x)单调递增.

因为F(x)存在两个零点，

x所以F(x)min?F?x1??0，即x1e1?a?x1?lnx1??0，从而a?a?x1?lnx1??0.

所以x1?lnx1?1?0.