（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角． 【专题】计算题；证明题．
【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得?=0，?=0；
进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明； （Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、
、
的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平
面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案． 【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz； （Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）； 则所以
=（1，1，0），?
=0，
?
=（0，0，1），=0；
=（1，﹣1，0），
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC， 故PQ⊥平面DCQ，
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ； （Ⅱ）依题意，有B（1，0，1）， =（1，0，0），
=（﹣1，2，﹣1）；
设=（x，y，z）是平面的PBC法向量， 则
即
，
因此可取=（0，﹣1，﹣2）； 设是平面PBQ的法向量，则
，
可取=（1，1，1）， 所以cos＜，＞=﹣
，
．
故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣
【点评】本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算． 19．（12分）（2011?辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm）如下表： 397 390 404 388 400 412 406 品种甲 403 403 412 418 408 423 400 413 品种乙 419 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差s=[（x1﹣）+（x1﹣）+…+（xn﹣）]，其中为样本平均数．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；用样本的数字特征估计总体的数字特征． 【专题】计算题；应用题． 【分析】（I）根据题意得到变量X的可能取值是0，1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，列出分布列，算出变量的期望值．
（II）根据条件中所给的甲和乙两组数据，分别求出甲品种的每公顷产量的平均值和方差和乙的平均值和方差，把两个品种的平均值和方差进行比较，得到品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两个品种的样本方差差异不大，应选择种植品种乙． 【解答】解：（I）由题意知X的可能取值是0，1，2，3，4，
2
2222
P（X=0）==
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=，
P（X=4）=∴X的分布列为 X 0 P ∴X的期望是
1 2
3 4 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数
=400，
方差是
品种乙每公顷的产量的样本平均数
=412，
方差是
=56 =57.25
有以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数， 且两个品种的样本方差差异不大，故应选择种植品种乙．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查两组数据的平均值和方差，并且针对于所得的结果进行比较，本题考查利用概率统计知识解决实际问题．
20．（12分）（2011?辽宁）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上．椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e．直线l⊥MN．l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D． （Ⅰ）e=，求|BC|与|AD|的比值；
（Ⅱ）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
【考点】圆锥曲线的综合． 【专题】计算题；综合题． 【分析】（Ⅰ）先利用离心率相同，把两椭圆方程设出来，与直线l联立求出A、B的坐标，再利用椭圆图象的对称性求出|BC|与|AD|的长，即可求|BC|与|AD|的比值；
（Ⅱ）BO∥AN，即是BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，利用斜率相等得到关于t和a以及e的等式，再利用|t|＜a和0＜e＜1就可求出何时BD∥AN． 【解答】解：（I）因为C1，C2的离心率相同，
故依题意可设，
设直线l：x=t（|t|＜a），分别与C1，C2的方程联立， 求得当
，
，
（4分）
，分别用yA，yB表示的A，B的纵坐标，
（6分）
可知
（Ⅱ）t=0时的l不符合题意，t≠0时，
BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等， 即
，
解t=﹣=﹣?a；
因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以﹣1＜﹣，解得
所以当0＜e≤当
时，不存在直线l，使得BO∥AN； 时，存在直线l，使得BO∥AN．
【点评】本题考查椭圆的有关知识．在第一问设方程时，充分利用离心率相同，把两椭圆方程用同两个变量设出来，减少了变量的引入，把问题变的简单化．
21．（12分）（2011?辽宁）已知函数f（x）=lnx﹣ax+（2﹣a）x． （I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．
2
【分析】（I）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜时的最小值大于零即可，（III）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（I）．（II）结论，即可证明结论． 【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=
=﹣
，
①若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，且当x∈（0，）时，f′（x）＞0， 当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；
②当a≤0时，f′（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；
（II）设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g′（x）==，
当x∈（0，）时，g′（x）＞0，而g（0）=0， 所以g（x）＞0，
故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点， 故a＞0，从而f（x）的最大值为f（）， 不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2， 则0＜x1＜＜x2，
由（II）得，f（﹣x1）=f（
）＞f（x1）=f（x2）=0，
2011年辽宁省高考数学试卷（理科）答案与解析
