高考数学大一轮复习第七章不等式4第4讲基本不等式练习理（含
解析）
[基础题组练]
1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a＋b>2ab 112
C. ＋>
2
2
B．a＋b≥2ab D. ＋≥2
ababbaab解析：选D.因为a＋b－2ab＝(a－b)≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．
对于D，因为ab>0， 所以＋≥2 222
baabba·＝2. ab2．下列不等式一定成立的是( )
?21?A．lg?x＋?>lg x(x>0)
4??
B．sin x＋
2
1
≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x＋1≥2|x|(x∈R) D.
1
>1(x∈R) x＋1
22
1?21??21?解析：选C.对于选项A，当x>0时，x＋－x＝?x－?≥0，所以lg?x＋?≥lg x；
4?4?2??对于选项B，当sin x<0时显然不成立； 对于选项C，x＋1＝|x|＋1≥2|x|，一定成立； 对于选项D，因为x＋1≥1， 所以0<
1
≤1.故选C. x＋1
2
2
2
2
x2－2x＋1?1?3．已知f(x)＝，则f(x)在?，3?上的最小值为( )
x?2?
1
A. 2C．－1
4B. 3D．0
x2－2x＋111
解析：选D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等
xxx
?1??1?号．又1∈?，3?，所以f(x)在?，3?上的最小值是0. ?2??2?
12
4．若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )
abA.2 C．22
12
解析：选C.因为＋＝ab，所以a＞0，b＞0，
B．2 D．4
ab12
由ab＝＋≥2
ab12×＝22
abab，
所以ab≥22(当且仅当b＝2a时取等号)， 所以ab的最小值为22.
11xy5．已知x>0，y>0，lg 2＋lg 8＝lg 2，则＋的最小值是( )
x3yA．2 C．4
解析：选C.因为lg 2＋lg 8＝lg 2， 所以lg(2·8)＝lg 2， 所以2
x＋3yxyxyB．22 D．23
＝2，
所以x＋3y＝1. 因为x>0，y>0，
113yx?11?所以＋＝(x＋3y)?＋?＝2＋＋≥2＋2x3yx3y?x3y?11
等号．所以＋的最小值为4.故选C.
x3y1
6．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________．
3yx1
·＝4，当且仅当x＝3y＝时取x3y2
xy解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2， （x＋y）2
所以xy≤＝＝1，
441
所以≥1；
2
2
xy又
1
xy≥M恒成立，
所以M≤1，即M的最大值为1. 答案：1
21
7．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
ab12
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，
332??21?21?1
所以＋＝?a＋b??＋?
ab?33??ab?4a4b4＝＋＋≥＋233b3a3
a4b8·＝. 3b3a3
3
当且仅当a＝2b＝时取等号．
28答案： 3
8．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即取等号)，即为2.
答案：2
38
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
22x－3(2)设0 解：(1)y＝(2x－3)＋＋ 22x－32＝－? x＋22xy≤2(当且仅当x＝2y时 x＋yx＋22xyx＋22xy的最大值为2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值 x＋yx＋y?3－2x＋8?＋3. ?3－2x?2?2 3 当x<时，有3－2x>0， 23－2x8所以＋≥223－2x3－2x8 ·＝4， 23－2x3－2x8 当且仅当＝， 23－2x1 即x＝－时取等号． 235 于是y≤－4＋＝－， 225 故函数的最大值为－. 2
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