2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018本一试题解答与评分标准

一．填空题（ 每小题4分，共20分）

1?u2?lnxf?u??arctan,??x??,y?f???x??,(1) 设1?uxdydx?x?1则

.

?2(2) ?0?sinx?cos2x???2dx? .

(3) ?01?1?x?22dx? . F?u,v,w?(4) 已知函数

??0,0,0??3,Fu??0,0,0??1,Fv??0,0,0??2,Fwz?f?x,y?可微，确定，满足

函数

?由F?2x?y?3z,4x则

22?y2?z2,xyz?0f?1,2??0,fx??1,2?? . ?y2?4,0?y?x?(5) 设?是区域??x,y?｜x的边界曲线，取

???x?y???y?1?e?dx???x?y??xye?dy?3y3y

?(本一评分标准) 第2页

一.答案: (1)

1;5 (2)

?2?;23 (3)

?;4

二. 解下列两题（ 每小题5分，共10分） (1) 求极限 (2) 求极限

?1?3?L??2n?3???2n?1??limn????2?4?L??2n?2???2n???;??x2?xy?y2lim?sinx4?y4.44x??x?yy??2

??

(本一评分标准) 第3页

解 (1) 记 an?12?32?L??2n?1?2?4?L??2n?2222,k?1?因为?2k?1???2?1?k?N?,2*?2k?（1分）所以

0?an??2n?3???2n?1?2n?12n?11?33?55?7???L???,222222246?2n??2n??2n?2?2（2分） （2分）

n?1?0,应用夹逼准则得 lima因为 lim22nn????n??n?0.(2) 应用不等式的性质得

x2?xy?y2?x2?y2?2xy?2x2?y2,x4?y4?2x2y2,? 因为

x2?xy?y20??sinx4?y444x?y???2?x2?y2???2x2y2（2分） （1分）

11?，y2x2?11?lim????0,2x??x2?y???y应用夹逼准则得 （2分）

x2?xy?y2lim?sinx4?y4?0.44x??x?yy????三.（10分）已知函数f?x?在x?a处可导?a?R?,数列?x?,?y?满足:

nnxn??a??,a?,yn??a,a???.

???0?,且

n??nlimx?a,nlimy?a,??n 试求 limxnf?yn??ynf?xn?yn?xnn??

处可导得

解 由

limx?af?x??f?a?x?a?f??a?,f?x?在

x?a ( 2分)

?f???a??f??a?,limn??f?xn??f?a?xn?a

limn??f?yn??f?a?yn?a?f???a??f??a?, ( 2分)

应用极限的性质得

(本一评分标准) 第4页

f?xn??f?a??f??a??xn?a???n??xn?a?,?n?0?n???,f?yn??f?a??f??a??yn?a???n??yn?a?,?n?0?n???,( 1分) ( 1分)

代入原式得

limn??xnf?yn??ynf?xn?yn?xn??f?a??af??a??nlim??xn?n?yn?a??yn?n??a?xn?yn?xn( 2分)

??f?a??af??a??nlimx???nnyn?aa?xn?nlimy?nn??yn?xnyn?xn

??yn?aa?xn因为limx??limy??0,0??1,0??1??n??nnn??nny?xy?xnnnn??

??f?a??af??a??0?0??f?a??af??a?. ( 2分)

?x?0?，四. (10分) 已知试判别:

111?xsin?cos?f?x???x2x?0???1?x?0或0?x?1?;

(1) f?x?在区间??1,1?上是否连续? 若有间断点,判断其类型;

(2) f?x?在区间??1,1?上是否存在原函数?若存在,写出一个原函数;若不存在, 写出理由; (3)

1?1在区间??1,1?上是否可积? 若可积,求出

?f?x?dx;若不可积, 写出理由.

解 (1) f?x?在区间??1,1?上不连续. (1分)

11?0,limcos不存在,所以limf?x?不存在, 由于limxsin1x2xf?x?x?0x?0x?0(本一评分标准) 第5页