3 模拟方法——概率的应用
[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．
知识点一 几何概型的含义
1．几何概型的定义
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点
异同 类型 不同点(基本事件的个数) 相同点(基本事件发生的等可能性) 古典概型 一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个 每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等 几何概型 一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 G1的面积
，则称这种模型为几何概型．
G的面积
知识点二 几何概型的概率公式 P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
.
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．
题型一 与长度有关的几何概型
例1 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.
把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，1所以事件A发生的概率为P(A)＝.
3
反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率． 跟踪训练1 某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) 1
A. 3答案 B
解析 如图所示，画出时间轴：
1
B. 2
2
C. 3
3D. 4
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能10＋101保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.
402题型二 与面积有关的几何概型
例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解 记“射中黄心”为事件B.
2??12
因为中靶点随机地落在面积为?×π×122?cm的大圆内，而当中靶点落在面积为
?4?
?1×π×12.22?cm2的黄心内时，事件B发生， ?4???
12
×π×12.24
所以事件B发生的概率P(B)＝＝0.01.
12×π×1224反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：
(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
解 如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形．
图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．
由于区域Ω的面积为30×20＝600(m)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m)． 18423
所以P(A)＝＝≈0.31.
60075
即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型
例3 已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．
2
2
2
h
解 如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于. 2设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为.
4
hS1
由题意，知区域D(三棱锥S－ABC)的体积为Sh，
3
11Sh17
区域d(三棱台ABC－A1B1C1)的体积为Sh－··＝Sh·.
334238
h7
所以点M到底面的距离小于的概率P＝.
28
反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为
P(A)＝
构成事件A的区域体积
.
试验的全部结果构成的区域体积
跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得11
满足题意的概率为P＝3＝.
327题型四 与角度有关的几何概型
3
例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．
解 以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B＝{射线OA落在∠xOT内}． 60°1
因为∠xOT＝60°，所以P(B)＝＝.
360°6
反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．
跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．
解 因为CM是∠ACB内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB的大小，即为90°， 180°－45°
所以作AC′＝AC，且∠ACC′＝＝67.5°.
2
67.5°
如图，当CM在∠ACC′内部的任意一个位置时，皆有AM＜AC′＝AC，即P(AM＜AC)＝＝90°3. 4
转化与化归思想
例5 把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．
分析 将长度为a的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．
解 设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x，y，a－x－y，则(x，y)满足的条件为0≤x≤a，??
?0≤y≤a，??0≤x＋y≤a，
它所构成的区域为图中的△AOB.
设事件M＝{能构成一个三角形}，
则当(x，y)满足下列条件时，事件M发生．
2??a即?y＜，
2a?x＜?2，
?x＋y＞a－x－y，?
?x＋a－x－y＞y，??y＋a－x－y＞x，
ax＋y＞，
2017-2018版高中数学第三章概率3模拟方法——概率的应用学案北师大版必修31
