珠海市2009年高中数学竞赛试题附详细答案
一选择题(每题5分,满分60分)
2
1. 如果a,b,c都是实数，那么P∶ac<0,是q∶关于x的方程ax+bx+c=0有一个正根和一个负根
的（ ）
（A）必要而不充分条件 （B）充要条件
（C）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A）
3?0.5克 （B）(1－0.5%)3克 （C）0.925克 （D）1000.125克 1003. 由甲城市到乙城市t分钟的电话费由函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1)给出，其中t>0，[t]表示大于
或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A）5.83元 （B）5.25元 （C）5.56元 （D）5.04元 4. 已知函数
的值
A、一定大于零 B、一定小于零 C、等于零 D、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则311是它的（ ） （A）第23项 （B）第24项 （C）第19项 （D）第25项
6. 已知等差数列{an}的公差不为零，{an}中的部分项ak1,ak2,ak3,?,akn,?构成等比数列，
其中k1?1,k2?5,k3?17,则k1?k2?k3???kn等于（ ） (A) 3?n?1 (B) 3?n?1 (C) 3?n?1 (D)都不对 7. 已知函数f(x)?asinx?bcosx（a、b为常数，a?0，x?R）在x?则函数y?f(nnn>0，则
?4处取得最小值，
3??x)是（ ） 43?,0)对称 2A．偶函数且它的图象关于点(?,0)对称 B．偶函数且它的图象关于点(C．奇函数且它的图象关于点(8. 如果
3?,0)对称 D．奇函数且它的图象关于点(?,0)对称 21?tanA?= 4+5，那么cot（?A）的值等于 ( )
1?tanA4A -4-5 B 4+5 C -
14?5 D
14?5
9. 已知︱OA︱=1，︱OB︱=，设3,OA?OB=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°
OC=mOA+nOB(m、n∈R)，则
m等于 nA.
13 B.3 C. D.3 3310. 等边△ABC的边长为
0
，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD折起，使之与△ACD所在平
面成120的二面角，这时A点到BC的距离是
A、 B、 C、3 D、2
11. 抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3”
的概率是 A．
B．
（ ）
1 31 6C．
1 36D．
1 1812. 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖
AB‖=︱x1－x2︱+︱y1－y2︱.给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3 二填空题:(每题5分,满分30分)
22213棱锥的底面面积为150cm2,平行于底面的截面面积为54cm2底面和截面
距离为14cm,则这个棱锥高为_________
14函数y=x－2+
的最小值是________;最大值是________.
15. 若数列｛an｝由a1=2，an+1=an+2n(n≥1)确定，求通项公式an ==________.
16. 有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n个人正
在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到
?1n?()?P(0),1?n?5P(n)??2，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率
?0,n?6?P(0)的值是 ．
?1?f(n),n为偶数, 17. 定义在N＋上的函数f(x)，满足f (1 )＝1，且f(n+1)=?2则f(22) = ．
??f(n),n为奇数.18. 定义在R上的函数y?f(x)，它同时满足具有下述性质： ①对任何x?R均有f(x3)?f3(x);
②对任何x1,x2?R,x1?x2均有f(x1)?f(x2).则f(0)?f(1)?f(?1)? ．
三解答题(每题15分,满分60分)
19. 三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为
，求角C的大小。
，若
20.一农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公斤，若种花生，则
每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且花生每
公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？
21．已知点的序列An(xn,0),n?N*，其中x1?0,x2?1，A3是线段A1A2的中点，A4是线段2A2A3的中点，?,An是线段An?2An?1(n?3)的中点，
（1） 写出xn与xn?1,xn?2之间的关系式(n?3)； （2） 设an?xn?1?xn，求?an?的通项公式。
22. （本小题满分14分）已知二次函数
=
(Ⅰ)求
，且方程
=有等根。
满足条件：
的解析式；
的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求
(Ⅱ)是否存在实数m、n(m 出m、n的值；若不存在，说明理由。 参考答案 一选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.D 8.B 9. B 10.A 11.D 12.B 二填空题: 13. 35 14 ?4;22?2 15 an?n2?n?2 16. 321 17. 18. 0 63102419解: 由 故B=600，A+C=1200。…………………..5’ =cosB， 于是sinA=sin(1200-C)= ，…………………8’ 又由正弦定理有：，………………….10’ 从而可推出sinC=cosC，得C=450。…………………….15’ 20解：设水稻种x亩，花生种y亩，则有题意得： 即 …………………………6’ 而利润P＝（3×400－200）x＋（5×100－80）y＝960x+420y…………………9’ 所以当x＝1.5，y＝0.5时，Pmax＝960×1.5＋420×0.5＝1650（元）…………14’ 即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得的利润最大。……………………15’ xn?2?xn?1（ｎ?３）；……………………6’ 2x?xnx?xn（２）an＝xn?1?xn＝n?1－xn＝n?1，…………..9’ 221由此可见，数列?an?是公比为?的等比数列，………………….12’ 221.解:（１）xn?1。…………..15’an＝?(?)n （ｎ?N?） 2 22.解:Ⅰ）。………………..7’ （Ⅱ）存在m=-4，n=0满足要求。………………….15’
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