2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、若反常积分
???01dx收敛，则
xa(1?x)b（A）a?1且b?1. （B）a?1且b?1. （C）a?1且a?b?1. （D）a?1且a?b?1. 2、已知函数f(x)???2(x?1),?lnx,x?1,则f(x)的一个原函数是 x?1,?(x?1)2,x?1.?(x?1)2,x?1. （A）F(x)?? （B）F(x)??
?x(lnx?1),x?1.?x(lnx?1)?1,x?1.?(x?1)2,?(x?1)2,x?1.x?1. （C）F(x)?? （D）F(x)??
?x(lnx?1)?1,x?1.?x(lnx?1)?1,x?1.3、若y?(1?x2)2?1?x2，y?(1?x2)2?1?x2是微分方程y'?p(x)y?q(x)的两个解，
则q(x)?
（A）3x(1?x). （B）?3x(1?x). （C）
22xx?. （D）.
1?x21?x2?x,?4、已知函数f(x)??1,??nx?0,11?x?,n?1,2,n?1n,则
（A）x?0是f(x)的第一类间断点. （B）x?0是f(x)的第二类间断点. （C）f(x)在x?0处连续但不可导. （D）f(x)在x?0处可导. 5、设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是
（A）A与B相似. （B）A与B相似. （C）A?A与B?B相似. （D）A?A与B?B相似.
TT?1?1TT?1?12226、设二次型f(x1,x2,x3)?x12在空间直角?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，则f(x1,x2,x3)?坐标下表示的二次曲面为
（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （D）柱面 7、设随机变量X~N(?,?2)(??0)，记p?P{X????2}，则
（A）p随着?的增加而增加 （B）p随着?的增加而增加 （C）p随着?的增加而减少 （D）p随着?的增加而减少 8、随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为
1，将试验E3Y表示2次试验中结果A2发生的次数，独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，
则X与Y的相关系数为
（A）?1111 （B）? （C） （D） 2332二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
?9、limx?0x0tln(1?tsint)dt1?cosx2?_______.
10、向量场A(x,y,z)?(x?y?z)i?xyj?zk的旋度rotA?_______.
11、设函数f(u,v)可微，z?z(x,y)由方程(x?1)z?y2?x2f(x?z,y)确定，则 12、设函数f(x)?arctanx?x，且f???(0)?1，则a?______. 21?ax??100??113、行列式
00?414、设x1,x2,3200?______. ?1??1,xn为来自总体N(?,?2)的简单随机样本，样本均值x?9.5，参数?的置信度
为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则?的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
已知平面区域D=?(r,?)|2?r?2(1?cos?),?16、（本题满分10分）
?2??????，计算二重积分??xdxdy.
2?D 设函数y(x)满足方程y???2y??ky?0，其中0?k?1. （1）证明：反常积分
???0y(x)dx收敛；
（2）若y(0)?1，y?(0)?1，求17、（本题满分10分）
设函数f(x,y)满足
???0y(x)dx的值.
?f(x,y)?(2x?1)e2x?y，且f(0,y)?y1?，Lt是从点(0,0)到点(1,t)?x的光滑曲线。计算曲线积分I(t)?18、（本题满分10分）
?Lt?f(x,y)?f(x,y)dx?dy，并求I(t)的最小值. ?x?y设有界区域?由平面2x?y?2z?2与三个坐标平面围成，?为?整个表面的外侧，计算曲面积分I???(x?2?1)dydz?2ydzdx?3zdxdy.
19、（本题满分10分）
已知函数f(x)可导，且f(0)?1，0?f?(x)?1.设数列?xn?满足xn?1?f(xn)(n?1,2). 2证明：（1） 级数
?(xn?1?n?1?xn)绝对收敛；
（2）limxn存在，且0?limxn?2.
n??n??20、（本题满分11分）
2??1?1?1??2????a1?，B??1a?. 设矩形A??2??11a???a?1?2????? 当a为何值时，方程AX?B无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求此方程.
21、（本题满分11分）
?0?11???已知矩阵A??2?30?
?000???（1）求A
（2）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)满足B?BA。记B100?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组合。
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