P X (tn ) xn X (t1) x , , X (tn ) xn
1
1
1
P X (tn ) xn X (tn )
1
xn
，则则称
1
X (t ), t T
是马尔可夫过程。
（ 5 ） 正 态 过 程 ： 随 机 过 程
X (t), t T ， 若 对 任 意 正 整 数 n 及 t t t
, 2 , ,
1
n
T
，
（
(t1), X (t ) X
2
X (t n )
）是 n 维正态随机变量，其联合分布函数是
n 维正态分布函数，则称
X (t), t T 是正态过程或高斯过程。
（6）维纳过程：是正态过程的一种特殊情形。
W (t), 设 t 为实随机过程，如果，① W (0) 0 ；②是平稳独立增量过程；③对任意
2
s,t 增
量 W (t) W(s) 服 从 正 态 分
布 ， 即 W (t) W(s) ~ N (0,
t s
)
2
0
。 则 称
W(t), t
为维纳过程，或布朗运动过程。
另外：①它是一个 Markov 过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。 ②维纳过程具有独立增量。 该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间 上变化的概率。③它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。 （7）平稳过程：
严 （狭 义 ）平 稳 过程 ：
X (t ),t T
， 如 果 对 任 意 常 数
及 t1,t2 , 和 正 整数n, tn T ), X (t 2
，
)
X (tn
) ）有相
t1 ,t2 , ,tn T ，（ X (t1 ), X (t2 ) X (t ),t T
X (tn ) ）与（ X (t1
同的联合分布，则称
是严（狭义）平稳过程。
是二阶距过程；②对任意的
广义平稳过程：随机过程
X (t), t T
，如果①
X (t), t T t T ，
m (t) EX t X ( ) t s
；③对任意 s，t T ， RX (s,t ) E[ X (s) X (t)]
RX (t s) ，或仅与时间
常数
差
有关。则满足这三个条件的随机过程就称为广义平稳过程，或宽平稳过程，简称平稳过程。
第二章
一．泊松过程的定义（两种定义方法） １，设随机计数过程 是具有 参数
泊松过程
X (t), t 0
), t ，其状态仅取非负整数值， 若满足以下三个条件， 则称： X (t T
的 泊松 过程。 ① X (0)
0 ； ②独立 增量 过程， 对任 意正整 数 n ， 以及任 意的
t1 t2 tn T X (t2 ) X (t1), X (t3 ) X (t2 ), , X (tn ) X (tn 1 ) 相互独立，即不同时间间隔
t 的区间中，事件Ａ发生的次数服从参数
n
t
的计数相互独立；③在任一长度为 对任意 t, s 0 ，有
t 0的的泊松分布，即
( t)
n 0,1,
n!
P X (t s) X (s) n e
E[ X (t)] t ，
E[ X (t)]
，表示单位时间内时间Ａ发生的平均个数，也称速率或强度。
t
２，设随机计数过程
X (t), t 0 ，其状态仅取非负整数值， 若满足以下三个条件， 则称： X (t),t 0
是 具 有 参 数
的 泊 松 过 程 。 ① X (0) 0 ； ② 独 立 、 平 稳 增 量 过 程 ； ③
P X (t h) X (t) 1 P X (t h) X (t) 2
h o(h) o(h)
。
第三个条件说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不可能有两个或两个以上事件同 时发生，也称为单跳性。 二．基本性质 １，数字特征
mX (t) E[ X (t)] t D[X (t)] min(s,t) n
R (s, t)
X
s( t 1) s t s t
t( s 1)
B (s, t) R (s,t) m (s)m (t)
X
X
X
X
推导过程要非常熟悉
２， T 表示第 n 1事件Ａ发生到第
n
次事件发生的时间间隔，
Tn , n 1 是时间序列，随机变量 Tn
服从参数为
的指数分布。概率密度为
f (t)
t
e ,t 0 ，分布函数 F (t)
T
0, t 0
n
1 e , t 0 均值 0, t 0
t
1
为 ET
n
证明过程也要很熟悉 三．非齐次泊松过程 ① X (0) 性。 均值函数 m
X
0
到达时间的分布 到达强度是 t 的函数
略
0；②独立增量过程；③
P X (t h) X (t) 1 (t)h o(h) o(h)
。 不具有平稳增量
P X (t h) X (t) 2
t
(t) E[ X (t)]
是具有均值为
(s)ds
定理：
X (t),t 0
m
X
t
(t)
0
(s)ds的非齐次泊松过程，则有
n
[ m (t s) m (t)]
X
X
P X (t s) X (t) n
n!
四．复合泊松过程
设
exp [m (t s) m (t)]
X
X
N (t), t 0
是强度为
的泊松过程，
Y , k 1,2,
k
是一列独立同分布的随机变量，且与
N (t)
X t N (t), t 0 独立，令
Y
k
k 1
则称
X (t),t 0
为复合泊松过程。
( )
重 要 结 论 ：
X (t), t 0 是 独 立 增 量 过 程 ； 若
2
E(Y )
1
， 则 E[ X ( t) ] t E1( Y，)
随机过程知识点汇总 - 图文
