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导数的背景（5月4日）
教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度
问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是s?12gt（其中g是重力加速度）. 2当时间增量?t很小时，从3秒到（3＋?t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋?t）秒这段时间内位移的增量：
?s?s(3??t)?s(3)?4.9(3??t)2?4.9?32?29.4?t?4.9(?t)2
?s?29.4?4.9?t. ?t?s从上式可以看出，?t越小，越接近29.4米/秒；当?t无限趋近于0时，
?t?s?s无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当?t趋向于0时，的极限是29.4. ?t?t?s当?t趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做
?t从而，v???瞬时速度.
一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋?t）这段时间内的平均速度为
?ss(t??t)?s(t)?s?. 如果?t无限趋近于0时，无限趋近于?t?t?t _
某个常数a，就说当?t趋向于0时，的瞬时速度. 2. 切线的斜率
?s的极限为a，这时a就是物体在时刻t?t问题2：P（1,1）是曲线y?x2上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.
析：设点Q的横坐标为1＋?x，则点Q的纵坐标为（1＋?x）2，点Q对于点
P的纵坐标的增量（即函数的增量）?y?(1??x)2?1?2?x?(?x)2， 所以，割线PQ的斜率kPQ?y2?x?(?x)2???2??x. ?x?x由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，?x变得越来越小，kPQ越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即?x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2. 这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：y?2x?1.
一般地，已知函数y?f(x)的图象是曲线C，P（x0,y0），Q（x0??x,y0??y）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近点P，即?x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此时，割线PQ的斜
?y无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当?x趋向于0时，割线?x?yPQ的斜率kPQ?的极限为k.
?x率kPQ?3. 边际成本
问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为C(q)?3q2?10，我们来研究当q＝50时，产量变化?q对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：
?C?C(50??q)?C(50)?3(50??q)2?10?(3?502?10)?300?q?3(?q)2.
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产量变化?q对成本的影响可用：
?C?C?300?3?q来刻划，?q越小，越接近?q?q300；当?q无限趋近于0时，
?C的极限是300. ?q?C无限趋近于300，我们就说当?q趋向于0时，?q我们把
?C的极限300叫做当q＝50时C(q)?3q2?10的边际成本. ?q 一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为q0时，产量变化?q对成本的影响可用增量比刻划. 如果?q无限趋近于0时，
?CC(q0??q)?C(q0)??q?q?C无限趋近于常数A，经济学上称A为边际?q成本. 它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）. 二、小结
瞬时速度是平均速度切线的斜率是割线斜率
?q趋近于0时的极限.
?s当?t趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，?t?C?y当?x趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当
?q?x三、练习与作业：
1. 某物体的运动方程为s(t)?5t2（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度.
2. 判断曲线y?2x2在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
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3. 已知成本C与产量q的函数关系式为C?2q2?5，求当产量q＝80时的边际成本.
4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为h?t2，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.
5. 判断曲线y?
121x在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 22 _
6. 已知成本C与产量q的函数关系为C?4q2?7，求当产量q＝30时的边际成本.
导数的概念（5月4日）
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课：
1.设函数y?f(x)在x?x0处附近有定义，当自变量在x?x0处有增量?x时，则函数如果?x?0时，Y?f(x)相应地有增量?y?f(x0??x)?f(x0)，?y与?x的比叫函数的平均变化率）有极限即
?y（也?x?y无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数?xx?x0y?f(x)在x?x0处的导数，记作y/f/(x0)?limf(x0??x)?f(x0)
?x，即
?x?0注：1.函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，?x趋近于0可正、可负、但不为0，而?y可能为0。
人教出版高级中学数学《导数》全部备课教案
