2009年全国高中数学联赛
吉林省预赛
2009年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨吉林省高中数学竞赛于2008年5月17日在吉林省各地区举行，有将近10000名来自全省各地区的选手参加了本次竞赛活动.
本次吉林省高中数学竞赛试题所涉及的知识范围不超出现行的《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《高中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿）》中所规定的教学内容和基本要求，贴近高考但又高于高考，高考和竞赛兼顾，在内容和方法的要求上有所提高. 主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用基础知识的解决实际问题的能力. 试卷包括6道选择题，6道填空题和5道解答题. 全卷满分160分.
竞赛活动时间是2009年5月17日（星期日）上午8：30—11：00，从竞赛成绩上，还是比较理想，全省最高分是145分，通过这次预赛，选出2000名选手参加决赛.
试 题
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ).
(A) 10项 (B) 11项 (C) 12项 (D) 13项
?1xx?4,?(),2．若函数f(x)??2 则f(log23)?( ).
??f(x?1),x?4,(A) ?23111 (B) (C) (D)
11192483．称横坐标为整数的点为“次整点”，过曲线y?9?x2上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于30的直线条数为（ ）.
(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15
4．现有一个正四面体与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，将它们重叠一个侧面后，所得的几何体是（ ）.
(A) 四面体 (B) 五面体 (C) 六面体 (D) 七面体
5．已知I是?ABC的内心，AC?2,BC?3,AB?4，若AI?xAB?yAC，则x?y的值为( ).
1245(A) (B) (C) (D)
3399nt116．数列{an}满足a1?1，2?4?，记Sn??ai2，若S2n?1?Sn?对任意的n?N*
30anan?1i?1恒成立，则正整数t的最小值为( ).
(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 二、填空题（每小题5分，共30分）
7．设x1?y2?y1?x2?1，则x2?y2? ．
8．等式x2?px?4x?p?3对于一切0?p?4均成立，则实数x的取值范围是 ． 9．将3个相同的白球、4个相同的红球、5个相同的黄球放入3个不同盒子中，允许有的盒子中球的颜色不全的不同放法共有 种（要求用数字做答）．
sinx2sinxsinx2)，b?10．若0?x?1，a?(，c?2，则a,b,c的大小关系为 ． xxx11．(2?3)2010的小数点后一位数字是 ．
12．对空间中有6个点两两连线，用红、黄两种颜色对这些边染色，则同色三角形至少有 个．
三、解答题（每题２０分，共１００分）
b?cc?aa?b2a2b2c?????13.若a,b,c?(0,??)，求证：． 2a2b2cb?cc?aa?b
14.定义在集合
f(A
上的函数f(x)满足：对任意的x1,x2?A都有
x1?x21)?[f(x1)?f(x2)]，则称函数f(x)是A上的凹函数. 22（1）试判断f(x)?3x2?x是否是R上的凹函数？
（2）若函数f(x)?mx2?x是R上的凹函数，求实数m的取值范围. 15.已知数列{an}中，a1?0，且an?1?3?an． 2（1）试求a1的取值范围，使得an?1?an对任何正整数n都成立；
（2）若a1?4，设bn?|an?1?an|(n?1,2,3?)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，证明：Sn?5． 2１６.如图所示，在?ABC中，AB?AC，有一个圆内切于?ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是?ABC的内心.
（第16题）
１７.一个由空间中的点组成的集合S满足性质：S中任意两点之间的距离互不相同.假设S中的点的坐标(x,y,z)都是整数，并且1?x,y,z?n，证明：集合S的元素个数小于
min{(n?2)n,n6}. 3
2009年全国高中数学联赛吉林省预赛试题及答案
