第二章 数列 2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与通项公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是( ) A．n C．n＋4
B．3n＋11 D．n＋3
解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.
答案：D
2．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是( )
2
A．bn＝an
B．bn＝an＋n2 D．bn＝nan
C．bn＝an＋an＋1
解析：{an}是等差数列，设an＋1－an＝d，则数列bn＝an＋an＋1
满足：
bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d. 答案：C
3．数列{an}中，an＋1＝
an
，a1＝2，则a4为( ) 1＋3an
1
A.87 B.85 C.165 D.219 解析：因为1
a＝1＋3ann＋1
an，
所以11
a＝＋3，
n＋1an所以1a－1＝3，
n＋1an所以1an＝1
2＋3(n－1)，
11a4＝2＋3(4－1)＝192， 所以a4＝219.
答案：D
4．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( A．100 B．99 C．98 D．97
?9a1＋36d＝27，
解析：由已知，??a＝8，
所以
1＋9da1＝－1，d＝1，a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98，故选C. 答案：C
5．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于( A．0 B．log25 C．32 D．0或32 解析：依题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)， 所以(2x－1)2＝2(2x＋3)，
) ) 2
所以(2x)2－4·2x－5＝0， 所以(2x－5)(2x＋1)＝0， 所以2x＝5或2x＝－1(舍)， 所以x＝log2 5. 答案：B 二、填空题
6．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有________个．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又因为Δ＝4b2
－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0
所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个． 答案：1或2
7．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且1
m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________．
4
解析：设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1.设数列的首项为x1，则根据等差数列的性1
质，数列的第4项为x2，由题意知x1＝，
4
31－4413
所以x2＝，数列的公差d＝＝，
44－16
115517
所以数列的中间两项分别为＋＝，＋＝.
461212612
3
35735
所以x1·x2＝m＝.x3·x4＝n＝×＝.
16121214433531
所以m＋n＝＋＝.
161447231
答案：
72
8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1， bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5. 答案：5 三、解答题
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：(1)因为a5＝－1，a8＝2，
?a1＋4d＝－1，?a1＝－5，所以?解得?
?a1＋7d＝2，?d＝1.
(2)设数列{an}的公差为d.由已知得，
?a1＋a1＋5d＝12，?a1＝1，
解得? ?
?a1＋3d＝7，?d＝2.
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 所以a9＝2×9－1＝17.
4
10．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
?a1＋a2＝a3，
解：由题意知?
?a1a2＝a4，?2a1＋d＝a1＋2d，所以?
?a1（a1＋d）＝a1＋3d.?a1＝2，解得?
?d＝2，
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n. 故数列{an}的通项公式为an＝2n.
B级 能力提升
1．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，a2－a1
bn，y各自都成等差数列，则等于( )
b2－b1
m＋1n＋1mn
A. B. C. D. nmn＋1m＋1
解析：设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2
－b1＝d2，第一个数列共(m＋2)项，所以d1＝；
m＋1
a2－a1d1
第二个数列共(n＋2)项，所以d2＝，这样可求出＝＝
n＋1b2－b1d2
.
m＋1n＋1
y－x
y－x
5
[人教A版]高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.2第1课时等差数列的概念与通项公式（含答案）
