函数与导数大题训练
1已知函数f(x)?ln(2?3x)?32x. 2 （I）求f(x)在[0，1]上的极值；
（II）若对任意x?[,],不等式|a?lnx|?ln[f?(x)?3x]?0成立，求实数a的
取值范围；
（III）若关于x的方程f(x)??2x?b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的
取值范围.
1163qp ?2f(x)，其中f(x)?lnx，且g(e)?qe??2.（e为自然对数的底数）
xe （Ⅰ）求p与q的关系；
2. 设g(x)?px? （Ⅱ）若g(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （Ⅲ）证明：①f(x)?x?1,(x??1)
ln2ln3lnn2n2?n?1(n?N,n?2). ②2?2???2?4(n?1)23n
3．设函数f(x)??ax2?1?x?a，x?(0,1]，a?R． （1）若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围； （2）求f(x)在(0,1]上的最大值．
?答案
3?3(x?1)(3x?1)， ?3x?2?3x3x?21令f?(x)?0得x?或x??1（舍去）
31?当0?x?时,f?(x)?0,f(x)单调递增；
31当?x?1时,f?(x)?0,f(x)单调递减. ……………………………………3分 311?f()?ln3?为函数f(x)在[0,1]上的极大值 ……………………………4分
361解：（I）f?(x)? （II）由|a?lnx|?ln[f?(x)?3x]?0得
a?lnx?ln33， …………① ……………………5分 或a?lnx?ln2?3x2?3x32x?3x2?ln设h(x)?lnx?ln，
2?3x333x， ?ln2?3x2?3x11依题意知a?h(x)或a?g(x)在x?[,]上恒成立，
63g(x)?lnx?ln?g?(x)?2?3x3(2?3x)?3x?32???0， 23xx(2?3x)(2?3x)312?6x?(2?6x)??0，………………………………6分 222x?3x32x?3x11?g(x)与h(x)都在[,]上单增，要使不等式①成立，
631111当且仅当a?h()或a?g(),即a?ln或a?ln. ………………………8分
363532 （III）由f(x)??2x?b?ln(2?3x)?x?2x?b?0.
2h?(x)?3237?9x2?3x?2?令?(x)?ln(2?3x)?x?2x?b,则??(x)?，
22?3x2?3x当x?[0,77]时,??(x)?0,于是?(x)在[0,]上递增； 33当x?[77,1]时,??(x)?0,于是?(x)在[,1]上递减 ……………………10分 33而?(77)??(0),?()??(1)， 33?f(x)??2x?b即?(x)?0在[0,1]恰有两个不同实根等价于
???(0)?ln2?b?0?7727??()?ln(2?7)???b?0 ?66?31??(1)?ln5??b?0?2??ln5?1727?b?ln(2?7)??. …………… ……12分 2632. 解：（I）由题意：g(x)?px?qq?2lnx, 又g(e)?pe??2 xe?pe?qp1?2?qe??2 ?(p?q)e?(p?q)?0eee
11(p?q)(e?)?0 而e??0,?p?q....... ........3分ee（Ⅱ）由（I）知：g(x)?px?'q?2lnx, xp2px2?2x?pg(x)?p?2??xxx2令h(x)?px2?2x?p,要使g(x)在(0,??)为单调函数,只需h(x)在(0,??)满足 :h(x)?0或h(x)?0恒成立..................................................................4分①当p=0时，h（x）=－2x
Qx?0 ?h(x)?0,?g'(x)??2x?0, x2?g(x)在(0,??)单调递减, ?p?0适合题意...... ...................................5分
函数与导数大题训练试题+答案
