第9章(之1） （总第44次）
教学内容：§９.１微分方程基本概念 *1
．
微
分
方
程
2(y??)3?9y?y????5xy7的阶数是
（ )
(Ａ）3; （B）4； （C）6； (D）7. 答案（A)
解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数.
*2． 下列函数中的C、?、?及k都是任意常数，这些函数中是微分方程y???4y?0的通( )
解
的
函
数
是
(A)y?3Ccos2x?(12?29C)sin2x； (B）y?Ccos2x(1??sin2x)； （C)y?kCcos2x?1?k2C2sin2x; （D）y?Ccos(2x??). 答案 (D)
解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数. (A)中的函数只有一个任意常数C；
（B)中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解;
(Ｃ)中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及k，但当令C?kC时,函数就变成了
y?Ccos2x?1?Csin2x，实质上只有一个任意常数；
（D）中的函数确实有两个独立的任意常数,而且经验算它也确实是方程的解．
＊３.在曲线族 y?c1e?c2ex?x2中,求出与直线y?x相切于坐标原点的曲线．
解 根据题意条件可归结出条件y(0)?0,y?(0)?1， 由y?c1e?c2e故c1?
x?x， y??c1e?c2ex?x，可得c1?c2?0,c1?c2?1，
111,c2??,这样就得到所求曲线为y?(ex?e?x),即y?sinhx. 222?d2ydy1??x23?dx2?dx?y?023esinx是初值问题?*4.证明:函数y?的解.
dy32?yx?0?0,x?0?1?dx??x3?2x33esinx?e2cosx， 证明 y???322?x3?2x33y????esinx?e2cosx, 3221111代入方程得
y???y??y?0， 此外y(0)?0，y?(0)?1，?
1?x233e2sinx是初始值问题的解． 故y?32
*5．验证y?e证明 y??ex?x0etdt?Cex(其中C为任意常数)是方程y??y?ex?x的通解．
22x?x0etdt?ex?ex?Cexx22?y?ex?x, 即,y??y?ex?x?说明函数确实
22给定方程的解．
xtx另一方面函数y?e?edt?Ce含有一任意常数C,所以它是方程的通解.
02?? ? ? ?
**6．求以下列函数为通解的微分方程: (1）y?3Cx?1;
2解 将等式y?3Cx?1改写为y?Cx?1，再在其两边同时对x求导，得3yy??C,
3代入上式,即可得到所求之微分方程为3xyy??y?1． （2)y?C1x?23C2． x解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数,所以所求方程一定是二阶方程,在方程等式两边同时对x求两次导数,得
y??C1?C22C2??y?，． 23xx从以上三个式子中消去任意常数C1和C2，即可得到所求之微分方程为
x2y???xy??y?0.
＊＊7.建立共焦抛物线族y?4C(x?C)(其中C为任意常数)所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．
解 在方程y?4C(x?C)两边对x求导有2yy??4C,从这两式中消去常数所求方程
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华东理工大学高等数学(下册)第9章作业标准答案
