第9章(之1) (总第44次)
教学内容:§9.1微分方程基本概念 *1
.
微
分
方
程
2(y??)3?9y?y????5xy7的阶数是
( )
(A)3; (B)4; (C)6; (D)7. 答案(A)
解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数.
*2. 下列函数中的C、?、?及k都是任意常数,这些函数中是微分方程y???4y?0的通( )
解
的
函
数
是
(A)y?3Ccos2x?(12?29C)sin2x; (B)y?Ccos2x(1??sin2x); (C)y?kCcos2x?1?k2C2sin2x; (D)y?Ccos(2x??). 答案 (D)
解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数. (A)中的函数只有一个任意常数C;
(B)中的函数虽然有两个独立的任意常数,但经验算它不是方程的解;
(C)中的函数从表面上看来也有两个任意常数C及k,但当令C?kC时,函数就变成了
y?Ccos2x?1?Csin2x,实质上只有一个任意常数;
(D)中的函数确实有两个独立的任意常数,而且经验算它也确实是方程的解.
*3.在曲线族 y?c1e?c2ex?x2中,求出与直线y?x相切于坐标原点的曲线.
解 根据题意条件可归结出条件y(0)?0,y?(0)?1, 由y?c1e?c2e故c1?
x?x, y??c1e?c2ex?x,可得c1?c2?0,c1?c2?1,
111,c2??,这样就得到所求曲线为y?(ex?e?x),即y?sinhx. 222?d2ydy1??x23?dx2?dx?y?023esinx是初值问题?*4.证明:函数y?的解.
dy32?yx?0?0,x?0?1?dx??x3?2x33esinx?e2cosx, 证明 y???322?x3?2x33y????esinx?e2cosx, 3221111代入方程得
y???y??y?0, 此外y(0)?0,y?(0)?1,?
1?x233e2sinx是初始值问题的解. 故y?32
*5.验证y?e证明 y??ex?x0etdt?Cex(其中C为任意常数)是方程y??y?ex?x的通解.
22x?x0etdt?ex?ex?Cexx22?y?ex?x, 即,y??y?ex?x?说明函数确实
22给定方程的解.
xtx另一方面函数y?e?edt?Ce含有一任意常数C,所以它是方程的通解.
02?? ? ? ?
**6.求以下列函数为通解的微分方程: (1)y?3Cx?1;
2解 将等式y?3Cx?1改写为y?Cx?1,再在其两边同时对x求导,得3yy??C,
3代入上式,即可得到所求之微分方程为3xyy??y?1. (2)y?C1x?23C2. x解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数,所以所求方程一定是二阶方程,在方程等式两边同时对x求两次导数,得
y??C1?C22C2??y?,. 23xx从以上三个式子中消去任意常数C1和C2,即可得到所求之微分方程为
x2y???xy??y?0.
**7.建立共焦抛物线族y?4C(x?C)(其中C为任意常数)所满足的微分方程[这里的共焦抛物线族是以x轴为对称轴,坐标原点为焦点的抛物线].
解 在方程y?4C(x?C)两边对x求导有2yy??4C,从这两式中消去常数所求方程
22
华东理工大学高等数学(下册)第9章作业标准答案
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