第二节 解不等式
不等式是高中数学的传统内容，对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现，这类试题虽然难度不大，但往往有一定的灵活性.若是解答题,也是中等难度的题目；高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明.
不等式因它的基础性（是研究函数、方程、极限等必不可少的工具）、渗透性（容易与其它各部分知识结合在一起）、应用性（实际应用广泛），很自然地成为每年高考的热点.近几年，高考关于不等式的命题趋势是：
（1）单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现，若是解答题也是中等难度的题目； （2）高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明，突出不等式的工具性.在高考试卷中，有关解不等式的试题一般有一到两道． 考试要求
（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． （2）一元二次不等式
① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． ③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 题型一： 不等式的解法
例1(2020上海理科20)已知函数f(x)?a?2?b?3，其中常数a,b满足ab?0。 ⑴ 若ab?0，判断函数f(x)的单调性；
⑵ 若ab?0，求f(x?1)?f(x)时x的取值范围。
点拨；解不等式的基本思想方法是转化：一元二次不等式转化为一元一次不等式，分式不等式转化为整式不等式，指数与对数不等式（通过化“同底”）转化为代数不等式，抽象函数不等式（通过单调性）转化为具体不等式等.本题是指数不等式，可通过化“同底”求解． 解
：
⑴
当
xxa?0,b?0时，任意
x1,x2?R,x1?x2，则
f(x1)?f(x2)?a(2x1?2x2)?b(3x1?3x2)
∵ 21?22,a?0?a(21?22)?0，31?32,b?0?b(31?32)?0， ∴ f(x1)?f(x2)?0，函数f(x)在R上是增函数。 当a?0,b?0时，同理，函数f(x)在R上是减函数。 ⑵ f(x?1)?f(x)?a?2?2b?3?0
xxxxxxxxxx3xaa，则x?log1.5(?)；
22b2b3xaa当a?0,b?0时，()??，则x?log1.5(?).
22b2b易错点：对a,b符号的讨论.
当a?0,b?0时，()??
变式与引申1：（1）不等式
x?2f0的解集是 . 2x?3x?2?x2?4x?6,x?0（2） （2020年天津卷第8题） 设函数f(x)??则不等式f(x)?f(1)?x?6,x?0的解集是（ ）
A (?3,1)?(3,??) B (?3,1)?(2,??) C (?1,1)?(3,??) D
(??,?3)?(1,3)
题型二：含参数不等式的解法
例2 解关于x的不等式
ax?2x?12?ax．
2a?0， 如果a?0，不等式可化为
x?1x?解得x?1或x?2. a2a综上，当a?0时，不等式的解集为(??,)?(1,??)；当a?0时，不等式的解集为(1,??)；
当0?a?2时，不等式的解集为(1,)； 当a?2时，不等式的解集为?； 当a?2时，不等式的解集为(,1)．
2a2a易错点：在规范化的过程中，对a可能为零视而不见；在已经规范化了之后，对不确定的根的大小关系不加区分.整体表现为不能有序地进行分类讨论. 变式引申2：（1）解关于x的不等式?(m?3)x?1?(x?1)?0． （2）已知函数f(x)?x2ax?b（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
(k?1)x?k2?x （1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；f(x)?题型三：不等式的恒成立问题 例3已知函数f(x)?2?x
1． |x|2（1）若f(x)?2，求x的值；
（2）若2f(2t)?mf(t)≥0对于t?[1，2]恒成立，求实数m的取值范围 点拨：不等式恒成立问题通常有以下处理方法：（1）分离参数法，将参数与变量进行分离，再转化为最值问题解决；（2）变换主元法，有些题分离参数后很难求最值，可考虑变换思维角度，即主元与参数互换位置（3）数形结合法。本题分离参数后可求最值.
t解（1）
当x?0时，f?x??0;当x?0时,f?x??2x?12x. 由已知，
1?2,即22x?2?2x?1?0, x2解得 2x?1?2.∵ 2x?0,?x?log21?2. 2x???1?1???（2）当t?[1,2]时,2t?22t?2t??m?2t?t??0,即m22t?1??24t?1.∵22t?1?0,
2?2???????∴m??22t?1??在t?[1,2]上恒成立,∴m?[?(22t?1)]max.又t?[1,2]时,?17??(1?22t)??5,
故m的取值范围是[?5,??). 易错点：（1）绝对值的处理方法不明确，找不到解题的突破口（2）指数运算不熟悉，不能正确地将参数与变量进行分离（3）能否取等号也是常见的错误.
变式与引申3：（1）已知f(x)?x?2ax?2，当x?[?1,??)时，f(x)?a恒成立，求a的取值范围．
2??)上是增函数，当0??? （2）奇函数f(x)的定义域为R，且在[0，?2时，
是否存在实数m，使f(cos2??3)?f(4m?2mcos?)?f(0)对所有的??[0，]均成
?2立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由.
题型四：线性规划问题与基本不等式
?2x?y?4,?例4 （1） 设x,y满足?x?y?1,则z?x?y( ).
?x?2y?2,?（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 （C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值 （2）函数y?loga(x?3)?1(a?0，且a?1)的图象恒过定点A， 若点A在直线mx?ny?1?0上，其中mn?0，则
12?的最小值 mn为 ． 点拨：（1）首先准确地作出线性约束条件下的可行域，再由y＝－x 经过平移得到结论，这里关键就在于转化与化归．（2）找出定点A的坐标， 图3?2?2 代入直线方程，得2m?n?1，由均值不等式得结果.
解（1）画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B
（2）函数y?loga(x?3)?1(a?0,a?1)的图象恒过定点
A(?2,?1)1m,
12n(?2)?m?(?1)?n?1?0nm,
2m?n?1?8.
，
m,n?0,∴
?2n?(?)?(2m?n)?4?m?4mn?4?2n4m?mn易错点： 可行域画不准确，将y＝－x经过平移后得到的最优解不正确， 变式与引申4：（1）
?x?y?1,?(2020安徽文科数)设变量x,y满足?x?y?1,则x??y的最大值和最小值分别为
?x???说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.
（A） 1，?1 (B) 2，?2 (C ) 1，?2 (D)2，?1[ （2）已知a?0,b?0，则
A．2
11??2ab的最小值是（ ） abC．4
D．5
B．22
本节主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性质及能转化为它们的分式不等式、绝对值不等式、指数与对数不等式的解法以及含字母系数不等式的解法；（2）基本不等式及其应用，简单的线性规划等问题（3）图解法、换元法、分析法、综合法等方法（4）数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力.
点评：
（1）解不等式的关键是等价转化.分式不等式转化为整式不等式；指数与对数不等式转化为代数不等式；抽象函数的不等式在确定其单调性的前提下去掉函数符号转化为代数不等式．
（2）在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式；通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系.对含有参数的不等式，运用图解法，有时可以使分类标准更加明晰．
（3）等价转化．具体地说，分式化为整式，高次化为低次，绝对值化为非绝对值，指数与对数化为代数式等．分类讨论．分类讨论的目的是处理解决问题过程中遇到的障碍，在无障碍时不要提前进行分类讨论．数形结合．有些不等式的解决可化为两个函数图像间的位
置关系的讨论等几何问题．
（4）函数方程思想．解不等式可化为解方程或求函数图像与x轴交点的问题，根据题意判断所求解的区间．如“穿根法”实际上就是一种函数方程思想．
（5）线性规划问题的解题步骤：①根据线性约束条件画出可行域；②利用线性目标函数求出最优解。最优“整点”不一定在可行区域内，这时需要将相近的点一一列出，再代入约束条件和目标函数逐一检验，得出正确答案.
（6）在利用基本不等式解决有关问题时，特别注意不等式成立的条件，即“一正，二定值，三相等”在使用基本不等式时，要掌握常见的恒等变形技巧。
（7）不等式渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题等，无一不与不等式有着密切的联系.因此不等式应用问题体现了一定的灵活性、综合性．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点及内在联系，选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解．
习题3－2
?x?2y?5?0?1．(2020山东文科7)设变量x，y满足约束条件?x?y?2?0，则目标函数z?2x?3y?1?x?0?的最大值为
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
3
3．已知函数f(x)＝log2(x＋－a)的定义域为A，值域为B．（1）当a＝4时，求集合A；（2）
xx2－x＋1设I＝R为全集，集合M＝{x|y＝}，若(CIM)∪(CIB)＝○∕，求实数a的2
(a－5)x＋2(a－5)x－4
取值范围．
a(x?1)＞1(a≠1) ． x?225．设不等式x?2ax?a?2?0的解集为M，如果M??1,4?，求实数a的取值范围．
4．解关于x的不等式
【答案】
变式与引申1 （1）x?2?x??1,或x?2 【解析】:
??x?2x?2??0??x?2??x?2??x?1??0，数轴标根得：f0x2?3x?2?x?2??x?1??x?2?x??1,
或x?2?
（2）解析：由已知f(1)?3,∴当x?0时，由f(x)?f(1)得,x2?4x?6?3,解得
0?x?1或x?3.
当x?0，由f(x)?f(1)得,x?6?3,解得x??3.
综上所述：不等式f(x)?f(1)的解集是(?3,1)?(3,??).选A.
变式与引申2 （1）解：本题与例2解法类似，请自行设计算法框图，再求解.这里仅提供答案：当m??4时， 解集为??1,解集为???1? ?；当m??4时，解集为?；当?4?m??3时，
m?3??1?,?1?；当m??3时，解集为(??,?1)；当m??3时，解集为
?m?3?1(??,?1)?(,??).
m?3x2?x?12?0得 （2）解（1）将x1?3,x2?4分别代入方程ax?b?9??9??a??1x2?3a?b解得?,所以f(x)?(x?2). ?16b?22?x????8??4a?bx2(k?1)x?kx2?(k?1)x?k?,可化为?0,即（2）不等式即为
2?x2?x2?x(x?2)(x?1)(x?k)?0.
①当1?k?2,解集为x?(1,k)?(2,??).
②当k?2时,不等式为(x?2)(x?1)?0解集为x?(1,2)?(2,??); ③当k?2时,解集为x?(1,2)?(k,??).
变式与引申3 （1）解：设F(x)?x?2ax?2?a，则问题的条件变为当x?[?1,??)时，
22F(x)?0恒成立.∵当??(?2a)2?4(4?a)?4(a?2)(a?1)?0,即?2?a?1时，F(x)?0恒成立.
又当??0时，F(x)?0在??1,???上恒成立的充要条件是
y ????0,?a?1或a??2,????3?a??2， ?F(?1)?0,??a??3,??2a?a??1.?????1?2故a的取值范围是??3,1?.
?1 O x 答图3?2?1
本题实际上也是一道恒成立的问题，此类问题还可运用分离参数法求解，请自行尝试解答. （2）解：易知奇函数f(x)在R上递增,且f(0)?0,则f(cos2??3)?f(4m?2mcos2?)?0
?f(cos2??3)??f(4m?2mcos2?)?f(cos2??3)?f(2mcos2??4m)?os2??3?2mcos2??4m cos2??mcos??2m?2?0.令cos??t,则0?t?1.由题意,在[0,1]上不等式
mm???2?0?2?1或?,t?mt?2m?2?0恒成立,从而??m?4(2m?2)?0或???2m?2?0??1?m?2m?2?0解得m?4?22.22??)内的一切值. 因此，满足条件的实数m存在，它可取(4?22，变式与引申4：
【答案】B
【解析】x?y?1,x?y?1,x?0三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入x??y，得最大值为2，最小值为－2.故选B.
（2）因为
111111??2ab?2?2ab?2(?ab)?4当且仅当?，且abababab1?ab， ab即a?b?1时，取“=”号,选C.
【解析】f(x)?asin2x?bcos2x?a?bsin(2x??)?又f()?asin22a2?b2，
??36?bcos?3??31由题意f(x)?f()对一切则x?R恒成立，a?b…0，
622则
a2?b2?31313a?b对一切则x?R恒成立，即a2?b2?a2?b2?ab，2244200恒成立，而a2?3b2…23ab，所以a2?3b2=?23ab，此时
a2?3b2剠23ab???a?3b?0.所以f(x)?3bsin2x?bcos2x?2bsin?2x??.
6??①f(11??11???)?2bsin????0，故①正确； 126??6②f(7??7????47???13?)?2bsin????2bsin??2bsin??10?56??30??30??， ???2????17???13?f()?2bsin????2bsin??2bsin??5?56??30??30所以f(??， ?7??)＜f()，②错误； 105
③f(?x)??f(x)，所以③正确；
④由①知f(x)?3bsin2x?bcos2x?2bsin?2x?由2k???????，b?0， 6??2剟2x??62k???2知k??22?剟x3k???6，所以③不正确； 2⑤由①知a?3b?0，要经过点（a，b）的直线与函数的图f(x)像不相交，则此直线与横
轴平行，又f(x)的振幅为2b?3b，所以直线必与f(x)图像有交点.⑤不正确.
3．
x2－4x＋3(x－1)(x－3)
解：（1）当a＝4时，由x＋－4＝＝＞0， 解得0＜x＜1或x＞3，
xxx故A＝{x|0＜x＜1或x＞3}
（2）由(CIM)∪(CIB)＝○∕，得CIM＝○∕，且CIB＝○∕，即M＝B＝R，
3
3
若B＝R，只要u＝x＋－a可取到一切正实数，则x＞0及umin≤0，
x∴umin＝23－a≤0，解得a≥23……①
?a－5≠0
若M＝R，则a＝5或? 解得1＜a≤5 2
?△＝4(a－5)＋16(a－5)＜0
由①②得实数a的取值范围为[23，5]
4．【解析】原不等式可化为
(a?1)x?(2?a)＞0，
x?2a?2)(x?2)?0同解． a?1a?21a?2由于?1??1?2∴原不等式的解为(??,)?(2,??)．
a?1a?1a?1a?2a?21②当a?1时，原不等式与(x?, )(x?2)?0.由于?1?a?1a?1a?1a?21a?2当a?0时，?1??2,解集为(,2)；
a?1a?1a?1a?21当a?0时，?1??2，解集为?；
a?1a?1a?21a?2当0?a?1时，?1??2,解集为(2,)．
a?1a?1a?1a?2综上所述 当a?1时解集为(??,)?(2,??)；
a?1a?2当0?a?1时，解集为(2,)；
a?1a?2当a?0时，解集为?；当a?0时，解集为(,2)
a?15．【解析】解：M??1,4?有两种情况其一是M??，此时??0；其二是M??，此时??0或??0.以下分三种情况求a的取值范围．
22设f(x)?x?2ax?a?2，有??(?2a)?4(a?2)?4(a?1)(a?2).
①当a?1时，原不等式与(x?(1)当??0时，?1?a?2，M????1,4?.
?；?(2)当??0时，a??1或2.当a??1时M???1? ?1当a?2时，M??2???1,4? ,4(3)当??0时，a??1或a?2.设方程f(x)?0的两根x1,x2，且x1?x2，那么
M??x1,x2?，M??1,4??1?x1?x2?4
?f(1)?0,??a?3?0,?f(4)?0,?18?18?7a?0,???即?解得2?a?.
1?a?4,7?1?a?4,????a??1或a?2.???0.∴a的取值范围是(?1,
18]． 7答图3—2－3
2020高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第二节解不等式(1) 文
