二次函数的存在性问题（相似）
已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。 (1)求抛物线的解析式；
(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标； (3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
y y A A x x B B O O
图①
图②
[07江苏苏州]设抛物线y?ax2?bx?2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)， 与y轴交于点C.且∠ACB=90°． (1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线y?x?1交抛物线 于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与 △AEB相似，求点P的坐标．
(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________． 解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,． 2∴ △AOC ∽△COB,．∴OA·OB=OC2；∴OB=
OC22OA?1?4 ∴m=4．
[08年湖南省湘潭]已知抛物线y?ax2?bx?c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B的直线y?kx?b?与抛物线相交于点C（2，m），请求出
6 4 2
F G A 5 1 2
-2 -4
y
D C E P ?OBC的面积S的值.
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于 直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴 于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P，使得?OCD与?CPE相似？若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由.
x
?25a?5b?c?0?a??1??解：（1）由题意得：?36a?6b?c?0 解得?b?5
?c?0?c?0??2故抛物线的函数关系式为y??x?5x
（2）
-6
B C在抛物线上，??22?5?2?m,?m?6
，B、C在直线y?kx?b?上 ?C点坐标为（2，6）
?6?2k?b??? 解得k??3,b??12 ??6?6k?b??直线BC的解析式为y??3x?12
设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）
11??4?6??4??6?24 OBC22（3）存在P，使得OCD∽CPE 设P(m,n)，?ODC??E?90?
故CE?m?2,EP?6?n
ODDCODDC若要OCD∽CPE，则要或 ??CEEPEPCE6262即或 ??m?26?n6?nm?2解得m?20?3n或n?12?3m
?m?20?3n?n?12?3m又(m,n)在抛物线上，?或 ?22?n??m?5m?n??m?5m10?m???m?2?m2?6?13?m2?2,?,或?1,?解得?
?n1?6?n2??6?n?50?n2?61?9?1050故P点坐标为(，)和(6,?6) ······························································· 10分
39?S（只写出一个点的坐标记9分）
[08江苏苏州]如图，抛物线y?a(x?1)(x?5)与x轴的交点为M，N．直线y?kx?b与x轴交于
P(?2，0)，与y轴交于C．若A，B两点在直线y?kx?b上，且AO?BO?2，AO?BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．
（1）OH的长度等于 ；k? ，b? ． （2）是否存在实数a，使得抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E， y 满足以D，N，E为顶点的三角形与△AOB相似？
若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式， 同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点
B （简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个 C H E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足
A PBPG?102，写出探索过程． P ?2 M O 323解：（1）OH?1；k?，b?．
D N x 3 （2）设存在实数a，使抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．
?以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形． ①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED?DN． 由抛物线y?a(x?1)(x?5)得：M(?1 ，0)，N(5，0)．?D(2，0)，3)．?ED?DN?3．?E的坐标为(2，11把E(2，3)代入抛物线解析式，得a??．?抛物线解析式为y??(x?1)(x?5)．
331245即y??x?x?．
333②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE?EN，DE?EN．?E的坐标为(3.51.5)，．
2把E(3.51.5)，代入抛物线解析式，得a??．
922810?抛物线解析式为y??(x?1)(x?5)，即y??x2?x?
999911245当a??时，在抛物线y??x?x?上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件
3333的E点，不妨设为E?点，那么只有可能△DE?N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E?(3.51.5)，，
12451245显然E?不在抛物线y??x?x?上，故抛物线y??x?x?上没有符合条件的其他的E点．
333333222810当a??时，同理可得抛物线y??x?x?上没有符合条件的其他的E点．
99991453)，对应的抛物线解析式为y??x2?x?时， 当E的坐标为(2，333△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，??GNP??PBO?45．又?NPG??BPO，
PGPN?，?PBPG?POPN?2?7?14，?总满足PBPG?102． ?△NPG∽△BPO．?POPB2810当E的坐标为(3.51.5)，，对应的抛物线解析式为y??x2?x?时，
999同理可证得：PBPG?POPN?2?7?14，?总满足PBPG?102
3
[08年内蒙锡林郭勒盟]如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
y 解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y?a(x?2)2?1
A ∵抛物线过原点
1O ∴a(0?2)2?1?0 ∴a?? B 4x 12 ∴抛物线的解析式为y??(x?2)?1
41即y??x2?x.
4 （2）∵△AOB与△MOB同底不等高 又∵S△MOB=3 S△AOB
∴△MOB的高是△AOB高的3倍 即点M的纵坐标是?3
1∴?3??x2?x
4x2?4x?12?0
解得 x1?6，x2??2 y ∴M1(6，?3) M2(?2，?3) （3）由抛物线的对称性可知： AO=AB ?AOB??ABO 若△OBN与△OAB相似
必须有?BON??BOA??BNO 显然 A'(2，?1)
1 ∴直线ON的解析式为y??x …（10分）
211 由x??x2?x，得x1?0，x2?6
24 ∴N(6， ?3)
过N作NE⊥x轴，垂足为E. 在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，
∴NB?22?32?13 又OB=4 ∴NB≠OB
∴∠BON≠∠BNO
∴△OBN与△OAB不相似
同理说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点. 所以在抛物线上不存在N点，使得△OBN与△OAB相似
O A?A A ′ B E x N
二次函数的存在性问题(相似)
