第3讲 等比数列
1.(2019年新课标Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )
A.16 B.8 C.4 D.2
2.(2019年河北衡水中学调研)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2a5=2a3,且a4与
5
2a7的等差中项为,则S5=( )
4
A.29 B.31 C.33 D.36
2
3.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )
3
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
4.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于( ) A.80 B.30 C.26 D.16
5.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草生长第一天,长为3尺;莞生长第一天,长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等?”(结果保留一位小数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)( )
A.1.3日 B.1.5日 C.2.6日 D.3.0日
6.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件
a6-1
a1>1,a6a7>1,<0,则下列结论正确的是( )
a7-1
A.01
C.Sn的最大值为S7 D.Tn的最大值为T6
a2
7.(2017年北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=
b2
__________.
8.(2019年安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,若a2·a4
=16,S3=7,则a8=________.
9.(2017年福建漳州质检)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是{an}的前n项和.已知a2a4=16,S3=28,则a1a2…an最大时,n的值为________.
1
10.(2016年新课标Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn
3
+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式; (2)求{bn}的前n项和.
11.(2018年新课标Ⅲ)在等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
12.(2018年北京)设{an}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求{an}的通项公式; (2)求ea1+ea2+…+ean.
第3讲 等比数列
23??a1+a1q+a1q+a1q=15,
1.C 解析:设正数的等比数列{an}的公比为q,则?4解得
?a1q=3a1q2+4a1,?
??a1=1,
? ?q=2,?
∴a3=a1q2=4,故选C.
51
2.B 解析:由a2a5=a3a4=2a3,得a4=2.又a4+2a7=2×,∴a7=.又∵a7=a4q3,∴q
44
?1?5?16×?1-??2??1
=,∴a1=16,∴S5==31.故选B. 21
1-2
3.D 解析:方法一,在等比数列{an}中,
21-an·3a1-anq
Sn===3-2an.
21-q
1-3
2
方法二,在等比数列{an}中,a1=1,q=,
3
2?n-1?2?n-1
∴an=1×??3?=?3?.
?2?n?1×?1-??3????2?n?
∴Sn==3?1-?3??
21-322?n-1?
=3?1-3??3??=3-2an. ?
4.B 解析:由题意知公比大于0,由等比数列性质知Sn, S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列. 设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.
由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).
∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列. 又∵S3n=14,∴S4n=14+2×23=30.故选B.
1
5.C 解析:设n天后的长度相等,由题意可知蒲的长度是首项为3,公比为的等比数2
11-n?3??2?
列;莞的长度是首项为1,公比为2的等比数列.利用等比数列的前n项和公式,得=11-2
n
1×?1-2?lg 2+lg 3
,解得n=log26=≈2.6.
lg 21-2
6.AD
7.1 解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由a4=b4=8,得-
a2-1+3
1+3d=-q3=8.解得q=-2,d=3.则==1.
b22
8.128 解析:∵a2·a4=a23=16,∴a3=4(负值舍去),
2021届高考数学一轮复习训练第3讲等比数列
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