第3讲 等比数列
1．(2019年新课标Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( )
A．16 B．8 C．4 D．2
2．(2019年河北衡水中学调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝2a3，且a4与
5
2a7的等差中项为，则S5＝( )
4
A．29 B．31 C．33 D．36
2
3．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
3
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
4．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( ) A．80 B．30 C．26 D．16
5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草生长第一天，长为3尺；莞生长第一天，长为1尺．以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍．问几天后蒲的长度与莞的长度相等？”(结果保留一位小数，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．1.3日 B．1.5日 C．2.6日 D．3.0日
6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件
a6－1
a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是( )
a7－1
A．0
C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6
a2
7．(2017年北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝
b2
__________.
8．(2019年安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4
＝16，S3＝7，则a8＝________.
9．(2017年福建漳州质检)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是{an}的前n项和．已知a2a4＝16，S3＝28，则a1a2…an最大时，n的值为________．
1
10．(2016年新课标Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn
3
＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和．
11．(2018年新课标Ⅲ)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
12．(2018年北京)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
第3讲 等比数列
23??a1＋a1q＋a1q＋a1q＝15，
1．C 解析：设正数的等比数列{an}的公比为q，则?4解得
?a1q＝3a1q2＋4a1，?
??a1＝1，
? ?q＝2，?
∴a3＝a1q2＝4，故选C.
51
2．B 解析：由a2a5＝a3a4＝2a3，得a4＝2.又a4＋2a7＝2×，∴a7＝.又∵a7＝a4q3，∴q
44
?1?5?16×?1－??2??1
＝，∴a1＝16，∴S5＝＝31.故选B. 21
1－2
3．D 解析：方法一，在等比数列{an}中，
21－an·3a1－anq
Sn＝＝＝3－2an.
21－q
1－3
2
方法二，在等比数列{an}中，a1＝1，q＝，
3
2?n－1?2?n－1
∴an＝1×??3?＝?3?.
?2?n?1×?1－??3????2?n?
∴Sn＝＝3?1－?3??
21－322?n－1?
＝3?1－3??3??＝3－2an. ?
4．B 解析：由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn， S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列． 设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.
1
5．C 解析：设n天后的长度相等，由题意可知蒲的长度是首项为3，公比为的等比数2
11－n?3??2?
列；莞的长度是首项为1，公比为2的等比数列．利用等比数列的前n项和公式，得＝11－2
n
1×?1－2?lg 2＋lg 3
，解得n＝log26＝≈2.6.
lg 21－2
6．AD
7．1 解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a4＝b4＝8，得－
a2－1＋3
1＋3d＝－q3＝8.解得q＝－2，d＝3.则＝＝1.
b22
8．128 解析：∵a2·a4＝a23＝16，∴a3＝4(负值舍去)，
2021届高考数学一轮复习训练第3讲等比数列
