2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）
x2y21．“a =2， b?2”是“曲线C：2?2?1(a,b?R,ab?0)经过点
abA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A.
?2,1”的( A )．
?x2y2解答：当a =2， b?2曲线C：2?2?1经过
ab点
?x2y22,1；当曲线C：2?2?1经过
ab??2,1时，即有
?21?2?1，显然a??2,b??2也满足上式。所以“a =2， b?2”2abx2y2是“曲线C：2?2?1经过点
ab?2,1”的充分不必要条件。
?2．已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为m,m?1,m?2，则实数m的取值范围为( B )．
A． m?1 B． 1?m?答案：B.
解答：由题意可知：
33 C．?m?3 D．m?3 22D1A1B1MCBC1?m?(m?1)?m?231?m?解得。 ?2222?(m?2)?m?(m?1)?m(m?1)
3． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点， 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C )．
DA第3题图
3361 B． C． D． 6332答案：C.
A．
解答：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则
1D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,)2，且平面
ACD1的法向量为
??????????3，即二面角n1?(1,1,1)，平面MCD1法向量为n2?(?1,2,2)。因此cos?n1,n2??3
M-CD1-A的余弦值为3。 3?a?b?2?0a?2b?4．若实数a,b满足?b?a?1?0，则的最大值为 ( C )．
2a?b?a?1?A． 1 B． 答案：C.
解答：由a,b满足的条件知1?57 C． D． 2 45a?2b37b13?2??，当(a,b)?(,)取等?3，所以
b52a?ba222?a号。 5． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则
S?PQRS?ABC的最小值为( D )．
1111 B． C． D． 2345参考答案：D.
解答：如图5-1所示，
A． A
A P H
R P B Q C R Q B C 图5-1 图5-2
（1）当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，
?APR??CQR?180???BQR,所以sin?APR?sin?BQR.在?APR,?BQR中分别应
用正弦定理得
PRARQRBR?.又?A??B?45,故PR?QR,故?,?sinAsinAPRsinBsinBQRAR?BR即R为AB的中点.
S?PQR1过R作RH?AC于H，则PR?RH?BC,所以
S?ABC2时
1(BC)2PR12,此???BC2BC242S?PQRS?ABC的最大值为
1. 4（2）当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上，如图5-2所示，设
BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0???在Rt?CPR中，PR??2),则?CPR?90???PRC??BRQ??.
CRx?, sin?sin?x3,?RQB????QRB??B????, sin?4xPQRB1?x由正弦定理, ??sin???
?3sinBsin?PQBsinsin(???)44x111x211，因此S?PQR?PR2?(?)?()2.
sin?cos??2sin?22sin?2cos??2sin?在?BRQ中，BR?1?x,RQ?PR?这样，S?PQRS?ABC?(111，当且仅当??arctan2取)2??222cos??2sin?(1?2)(cos??sin?)5的最小值为.
等号，此时
S?PQRS?ABC156. 已知数列?an?的通项an?nx ，n?N*，若
(x?1)(2x?1)?(nx?1)a1?a2???a2015?1，则实数x等于（ D )．
A．?35911 B．? C．? D．? 2124060答案：D.
an?
(nx?1)?111??(x?1)(2x?1)?(nx?1)(x?1)(2x?1)?[(n?1)x?1](x?1)(2x?1)?(nx?1)2015则
?ak?1?k?11?1?(x?1)(2x?1)?(2015x?1)?0，所以
(x?1)(2x?1)?(2015x?1)11111111x?(?1,?)?(?,?)???(?,?)?(?,??)，经检验只有x??23420132014201560
符合题意。
7． 若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于 ( C )． ．．．
163626196 B． C． D． 175553答案：C.
A．
解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a，面积为S,过P的直线的倾斜角为?(0???当过点
?2)。
P,Q的直线为正方形的对边所在的直线时，
PQsin??a?RScos??sin??4cos??sin??S?(PQsin?)2?16。 174，此时正方形的面积17同理，当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时，S?方形的对边所在的直线时，S?36；当过点P,S的直线为正5196. 5320158．若集合A?(m,n)(m?1)?(m?2)???(m?n)?10?,m?Z,n?N*?，则集合A中的元素个数为( B )．
A．4030 B．4032 C． 20152 D． 20162 答案：B.
解答：由已知得n(n?2m?1)?2201620155，因为n,n?2m?1一奇一偶，所以n,n?2m?1两
者之一为偶数，即为22016,220165,2201652,?,2201652015共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A共有4032个元素.
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）
9．已知函数f(x)满足f(x?1)?f(1?x)?0，f(x?2)?f(2?x)?0，且f()?1，则
231000f()? ．
3答案：?1.
解答：f(x?2)?f(2?x)?f[1?(x?1)]??f[1?(x?1)??f(x)?f(x?4)?f(x)，所以
100044112f()?f(332?)?f()?f(1?)??f(1?)??f()??1.
333333
10．若数列{an}的前n项和Sn?n?n，n?N，则?32*2015i?11= ．
ai?8i?2答案：
2015. 60482*2a?a?3n?5n?2,a?3n?5n?2(n?N), 又，故a?0?i?in1i?1i?1nn?1解答：an?201520152015111201511. ??(?)????3i?1ii?16048i?1ai?8i?2i?13i(i?1)11． 已知F为抛物线y?5x的焦点，点A (3，1)， M是抛物线上的动点．当最小值时，点M的坐标为 ． 取点M的坐标为 ． 答案：(21,1). 5解答：设抛物线的准线为l:x??5.过M作l的垂线，垂足为H,则 4AM?MF?AM?MH?AH,当A,M,H三点共线时取等号，此时M的坐标为
1(,1)。 512．若16答案：?sin2x?16cosx?10，则cos4x? . 21. 2?16sinx,1?t?16，则16cosx?161?sinx?222解答:设t1616?10?t?2,或，代入方程得t?ttt?8，即
113sinx?或，所以cos4x??。
442213. 设函数f(x)?min{x?1,x?1,?x?1}，其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者．若
2f(a?2)?f(a)，则实数a的取值范围为 ．
答案：(??,?2)?(?1,0).
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