2.3.3 平面向量
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0
[解析] 因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|－a·b＝2×1－(－1)＝3.故选B.
[答案] B
2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD→
→
→
相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．22 C.5 D．2
[解析] 分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2,1)，B(2,0)，
2
2
D(0,1)．
∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上， ∴可设P?→→?2cosθ，2sinθ?
?. 5?5?
→
则AB＝(0，－1)，AD＝(－2,0)， AP＝?→?2cosθ－2，2sinθ－1??. 5?5?→25→15又AP＝λAB＋μAD， ∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－2515cosθ＋1，
∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，
1其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3. 2[答案] A
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
[解析] 由已知得2a＋b＝(4,2)．又c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解1
得λ＝.
2
1
[答案]
2
4．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A(－1,0)、B(2,0)，E、F是y轴上的
→
→→
两个动点，且|EF|＝2，则AE·BF的最小值为________．
[解析] 设E(0，m)，F(0，n)， 又A(－1,0)，B(2,0)， →→→
∴AE·BF＝－2＋mn，
→
又知|EF|＝2，∴|m－n|＝2.
→
→
2
2
→
∴AE＝(1，m)，BF＝(－2，n)．
①当m＝n＋2时，AE·BF＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n＋2n－2＝(n＋1)－3.
→→
∴当n＝－1，即E的坐标为(0,1)，F的坐标为(0，－1)时，AE·BF取得最小值－3.
→
→
2
2
②当m＝n－2时，AE·BF＝mn－2＝(n－2)n－2＝n－2n－2＝(n－1)－3.
→→
∴当n＝1，即E的坐标为(0，－1)，F的坐标为(0,1)时，AE·BF取得最小值－3.
→→
综上可知，AE·BF的最小值为－3. [答案] －3
→
→→
(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为________．
→→
→→
5．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD＝2DC，AE＝λAC－AB
→12
[解析] 解法一：如图，由BD＝2DC得AD＝AB＋AC，
33
→
→→
→
2
?→→?112222
所以AD·AE＝?1AB＋2AC?·(λAC－AB)＝λAB·AC－AB＋λAC－AB·AC，
33333??3
81122
又AB·AC＝3×2×cos60°＝3，AB＝9，AC＝4，所以AD·AE＝λ－3＋λ－2＝λ－
333
5＝－4，解得λ＝. 11
解法二：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB＝3，
→
→
→→
→
→
→→
→→→→→→→→→→
AC＝2，∠A＝60°，所以B(3,0)，C(1，3)，又BD＝2DC，所以D?，→
→
→→
?523?
?，
?33?
→→
?523?
所以AD＝?，而AE＝λAC－AB＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD·AE?，
?33?
523＝(λ－3)＋×3λ 33
113＝λ－5＝－4，解得λ＝. 311
[答案]
3
11
1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．
2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．
3
2019高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 2.3.3 平面向量学案 理
