出题人：王雪臣郭宇潇基本内容：两类曲面积分高斯公式斯托克斯公式场论基本题型：第一型曲面积分，第二型曲面积分，两类曲面积分之间的关系，高斯公式，斯托克斯公式，散度，旋度1.若空间曲面S向Oxy平面投影，投影区域为D，S的表达式为z?f?x,y?，曲面上的面密度为??x,y,z?，则曲面的质量为：答案：M=????x,y,z?dS=????x,y,z?x,y???
D
??z???z?1??????dxdy.??x???y?222.若空间曲面S的方程可表示为z?f?x,y?，其在Oxy坐标平面上的投影区域为D，则
??f?x,y,z?dS?
S
答案：M=??f?x,y,z?dS=??f?x,y,z?x,y??S
D
??z???z?1??????dxdy.??x???y?223.如果曲面S关于x?0对称（Oyz平面对称），且f?x,y,z?是关于x的奇函数，则??f?x,y,z?dS?
S
0
4.计算I=???x?y?z?dS,其中S是上半球面z?a2?x2?y2S
解：S关于x?0，y?0对称，由对称奇偶性得，??xdS=??ydS?0
S
S
所以
I???zdS???a?x?y?1??z222SDxy
'2x???z?'2ydxdy???a2?x2?y2?Dxy
aa2?x2?y2dxdy???adxdy??a3Dxy
其中，
Dxy：x2+y2?a2
5.计算I???xyzdS，其中?是平面?：z?2?2x?2y在第一象限部分
?
?解：dS?1??z?x???zy?dxdy?3dxdy
22??xyzdS???xy?2?2x?2y??3dxdy
?
Dxy
?6?dx?
0
11?x
0
xy?1?x?y?dy
?6?
113
x?1?x?dx?06201
6.默比乌斯带（Mobius）是单侧曲面。
解：小蚂蚁在默比乌斯带上，不通过边界可以爬到任何一点。7.第二型曲面积分分面计算法的计算公式：设?：z=z?x,y?,?x,y???xy，则
??Rdxdy=????R?x,y,z(x,y)?dxdy
?xy
?
???R?x,y,z(x,y)?dxdy,??xy??
??R?x,y,z(x,y)?dxdy，?????xy
???8.当?=n,k=时，??Rdxdy=0
2?
???n,k???取上侧
2???n,k???取下侧
29.计算I???zdxdy,?为锥面z?x2?y2在0?z?1部分的下侧；
?
解：?：z?x2?y2,0?z?1，下侧，
?xy：x2?y2?1，
22zdxdy?-x?ydxdy?????
?xy
2?12
?-?d??r2dr???00310.计算??zdxdy，其中?为锥面z?x2?y2与平面z?1所围曲面的内侧.
?解：???1??2?1：z?x2?y2，0?z?1，上侧；?2：z?1,x2?y2?1,下侧；
?xy：x2?y2?1
??zdxdy??????
?
?1
?2
?
Dxy
??
x2?y2dxdy???dxdy
Dxy
21
???????.3311.设r?解：由于x2?y2?z2，则div(grad r)
(1,?2,2)
=__2/3_______.?r2xx，?ry，?rz
????
?x2rr?yr?zrx2r?
???r?r2?x21x2r???3????x??x?r2r3rr???r?1y2???r?1y2
????3，????3?y??y?rr?z??z?rr故div(gradr)
|
(1,?2,2)?
2
3.????????12.求向量场A?(2z?3y)i?(3x?z)j?(y?2x)k旋度rotA?2i?4j?6k?i解：?j?k?????2i?4j?6k?zy?2x?rotA????x?y2z?3y3x?z13.计算???xzdxdy?xydydz?yzdzdx,其中?是平面x?0,y?0,z?0,及x?y?z?1所围?
成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解：设?所围空间区域为?，则由高斯公式得???xydydz?yzdzdx?xzdxdy=???(y?z?x)dxdydz??
?
?
18333
??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为球面x2?y2?z2?a2内侧.14.计算?解：设?所围空间区域为?，则由高斯公式得25333222xdydz?ydzdx?zdxdy??3(x?y?z)dxdydz???a.??????5??
15.设?是由锥面z?
x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整个边界的外侧，则??xdydz?ydzdx?zdxdy?(2??
2)?R3??
0????4?
解：空间区域?的球坐标表示为?0???2?根据高斯公式得?0?r?R??
??xdydz?ydzdx?zdxdy?3???dV3?
?
?
2?0
d??sin?d??r2dr
0
?40
R
?(2?2)?R3
16.设?是锥面z?
x2?y2(0?z?1)的下侧，则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?_____2??解：作辅助曲面?1:z?1,x2?y2?1的上侧于是I???xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy
?
?
???1
??
xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy???xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy
?1
???(1?2?3)dV?0
?
其中?为曲面?与?1围成的空间有界闭区域。上式中第一项来自高斯公式；第二项为0的原因是?1垂直于yOz平面，有垂直于zOx平面，故??xdydz?0，??2ydzdx?0
?1?1又因为?1是平面z?1上的一部分，故将z?1代入得下面计算??3(z?1)dxdy?0
?1???6dV。注意到?是一个圆锥体，则?
1
6dV?6????12?1?2????3?
17.设S是球面x?y?z?R的外表面，其中R?0，求积分I?
2222???
S
x3dydz?y3dzdx?z3dxdy
(x?y?z)
32
2
232的值.解：I?
???
S
x3dydz?y3dzdx?z3dxdy
(x2?y2?z2)
2
2
2
2?
1333
xdydz?ydzdx?zdxdy3???RS
3
?3R
12?R2
(x?y?z)dxdydz????5?
18.计算曲面积分I?
???
?2
xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)
2
22322其中?是曲面2x?2y?z?4的外侧．222解：取?1:x?y?z?1的外侧，?为?与?1之间的部分2
I????
?
xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)
2
2
322 ?
???1
???
xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)
322????
?1
xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)
322 根据高斯公式???1
???
?1
xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)(x2?y2?z)
322????0dxdydz?0
?
???
xdydz?ydzdx?zdxdy
322????xdydz?ydzdx?zdxdy
?
?
所以I?4?x2?y2?z2?1
???
3dxdydz?4?
工科数学分析 第五次习题课
