专题十 计数原理
第三十讲 排列与组合
答案部分
1． C【解析】不超过 30 的素数有 2， 3， 5， 7，11， 13， 17， 19， 23， 29，共 10 个，从中
随机选取两个不同的数有
C2 种不同的取法， 这 10 个数中两个不同的数的和等于
10
30 的
有 3 对，所以所求概率
P
3
1
，故选 C．
C102
15
2． D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，
只要把工作分成三份：有
C24 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式
共有 C42 A33 36 种． 故选 D．
2 次有 C19C18
3． C【解析】不放回的抽取
9 8 72，如图
1
2，3， 4，5，6，7，8，9
2
1，3， 4，5， 6，7，8，9
2C15C14 =40，所求
可知 (1,2) 与 (2,1) 是不同，所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有 概率为
40
72
5 ． 8
4． B 【解析】由题意可知 E
有6318
F有6种走法， F
G 有 3 种走法，由乘法计数原理知，共
种走法，故选 B．
5． D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为
有 A 13 种方法， 其他数位上的数可以从剩下的 法，所以其中奇数的个数为
1、 3、5 中任选一个，
4 个数字中任选， 进行全排列 ,有 A 44 种方
A13A 44 72，故选 D．
4、 5.若万位上排 4，则有 2
6． B 【解析】据题意，万位上只能排
则有 3 A3 个 .所以共有
4
A43 个；若万位上排 5，
2 A3
4
3 A3 5 24 120 个，选 B．
4
7． D【解析】 P
24 2 24
7 ． 8
8．D【解析】 易知 | x1 | | x2 | | x3 | | x4 | | x5 | 1 或 2 或 3，下面分三种情况讨论． 其一：
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| x1 | | x2 | | x3 | | x4 | | x5 | 1，此时，从 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 中任取一个让其等于 1
10种情况；其二：| x1 | | x2
| x3 | | x4 | | x5 | 2， 或-1，其余等于 0，于是有 C51C21 |
此时，从 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 中任取两个让其都等于
2
等于 -1，其余等于 0，于是有 2C
5
1 或都等于 -1 或一个等于
1、另一个
C2C1 40种情况；其三：
5
2
| x1 | | x2 | | x3 | | x4 | | x5 | 3，此时，从 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 中任取三个让其都等于
1 或都等于 -1 或两个等于 于是有 2C53
1、另一个等于 -1 或两个等于 -1、另一个等于 1，其余等于 0,
C53C31 C53C32 80种情况．由于 10 40 80
130 ．
9． C【解析】直接法：如图，在上底面中选
B1D1 ，四个侧面中的面对角线都与它成
60 ，
C1
B 1
共 8 对，同样 AC11 对应的也有 8 对，下底面也有 16 对，这共 有 32 对；左右侧面与前后侧面中共有 对．
D 1
A1
16 对，所以全部共有 48
D
A
B
C
间接法：正方体的
12 条面对角线中，任意两条垂直、平行或
成角为 60 ，所以成角为
10． A【解析】分三步：第一步，
60 的共有 C122 12 6 48．
5 个无区别的红球可能取出
0 个， 1 个， ， 5 个，则有
(1 a a2
出，则有 (1
a3 a4 a5 ) 种不同的取法；第二步， 5 个无区别的篮球都取出或都不取 b5 ) 种不同的取法；第三步，
5 个有区别的黑球看作
5 个不同色，从 5 个
不同色的黑球任取 数为 (1 a a2
0 个， 1 个， ， 5 个，有 (1 c)5 种不同的取法，所以所求的取法种
a3 a4 a5 ) (1 b5 ) (1 c)5 ．
11． B【解析】能够组成三位数的个数是
个数是 9× 9× 8
9× 10× 10=900 ，能够组成无重复数字的三位数的
=648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为900 648 252 ．
1 名教师和 2 名学生安排到
12． A【解析】先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的
乙地，共有 C21C42
12 种．
13． D【解析】和为偶数，则
4 个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有
C44 C54 C42 C52 1 5 60 66种取法．
14． C【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选
3 张，若都不同色则有
C41 C41 C41 =64，若 2 张同色，则有 C32 C21 C42 C41 144 ，若红色 1 张，其余 2
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张不同色，则有 C41 C32 C41 C41 192 ，其余 2 张同色则有 C41 C31 C42 72 ，所以
共有 64+144+192+72=472 ．
另解 1： C163 4C43 C 42 C121
16 15 14
6
16
72 560
88 472 ,答案应选 C．
另解 2： C40C123 3C43
C41C122
12 11 10 12 4 12 11
6 2
220 264 12 472．
15． B【解析】 B ，D ，E， F 用四种颜色，则有
三种颜色，则有 A43
A44 1 1 24种涂色方法； B，D，E， F 用
22A432
1 2 192 种涂色方法； B，D，E，F 用两种颜色，
24+192+48=264 种不同的涂色方法．
则有 A42 2 2 48 种涂色方法；所以共有
16． B【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有
A44 24 种，另一类甲排在第二位共有
42 种，故选 B．
5 次闪亮需用时间为
A31 A33 18 种，故编排方案共有 24 18
17． C．【解析】共有 5！ =120 个不同的闪烁，每个闪烁要完成
共 5 120=600 秒；每两个闪烁之间的间隔为
5 秒，
5秒，共 5 (120 —1)=595 秒。那么需要的
时间至少是 600＋ 595=1195 秒．
18． C【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，
因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：
(1) 先从丙、丁、戊三人中任选
一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共
有 C13C24 A 33 种． (2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车：其余三人从事其他三项工作， 共有 C32 A 33 种．所以，不同安排方案的种数是 C13C24A 33 +C23A 33 =126（种）．故选 C．
19． 16【解析】通解 可分两种情况：第一种情况，只有
1 位女生入选，不同的选法有
C12C24 12 （种）；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有
根据分类加法计数原理知，至少有 优解
l 位女生人选的不同的选法有
C22 C14 4 （种）．
16 种．
从 6 人中任选 3 人，不同的选法有
C36 20（种），从 6 人中任选 3 人都是男生，
20–4=16（种）．
C25C32 A 44 ；若取
不同的选法有
C34 4（种），所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有
20． 1260【解析】若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为
的 4 个数字包括 0，则可以组成的四位数的个数为
C52C13C13 A 33 ．综上，一共可以组成的
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专题十计数原理第三十讲排列与组合答案
