山东中医药大学生物医学工程专业2009年级（本科） 《复变函数与积分变换》期末考试试卷（A卷）
姓 名： 学 号： 班 级: 考试时间： 补（重）考：（是、否） 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
说明：本试卷总计100分，全试卷共 3 页，完成答卷时间2小时。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 得分 阅卷人 （签全名） 一、单项选择题（本大题共10 题，每题3 分，共 30 分）
?1?i?6633 1、已知z???，则z?2z?2的值为（ ）
?1?i?8 A、?i B、1 C、i D、?1
2、集合D??z|0?|z|?1?，则D是（ ）.
A、无界域 B、多连通域 C、单连通域 D、闭区域 3、已知方程(1?2i)z?4?3i，则z?（ ）.
A、2?i B、?2?i C、2?i D、?2?i 4、设f(z)?u?iv在区域D内解析，下列等式中正确的是（ ）.
?u?v?u?v?i A、f?(z)??i B、f?(z)??y?x?x?x?u?v?u?v?i D、f?(z)??i C、f?(z)??y?y?x?y5、设f(z)在单连域D内解析，C为D内任一闭路，则必有（ ）
A、?lm[f(z)]dz?0 B、?Re[f(z)]dz?0
CCC、?|f(z)|dz?0 D、Re[?f(z)dz]?0
CC6、设C:|z?2|?1，则?Cezdz?（ ）. z?2A、?e2i B、2?ei C、2?e2 D、2?e2i
1z?3e在z?0处Taylor展开式的收敛半径是（ ）. 7、函数f(z)?z?i A、1 B、2 C、3 D、? 8、设F(?)?2??(???0)，则F?1[F(?)]?（ ）.
1A、1 B、?(t?t0) C、ei?0t D、e?i?0t
9、f(z)?u?iv在区域D内可导的充要条件是（ ）
A、在D内存在某点z0，f(z)在z0处解析 B、u,v在D内有偏导数
C、u,v在D内满足C?R条件 D、f(z)在D内解析 10、函数f(t)?tej?0t的傅里叶变换为（ ）。
A、2???(???0) B、2???(???0) C、2?j??(???0) D、2?j??(???0) 得分 阅卷人 （签全名） 二、填空题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1、复数(1?3i1?3i)10的三角形式为________ ____.
2、曲线z??2?i?t在映射w?z2下的象曲线为______ ______. 3、(1?i)1?i=_________ ___.
sinz4、z?0为函数f?z??3的_____级极点。
z5、函数f?z??zImz?Rez仅在z?____________处可导. 6、f(z)??7、?|z|?2??3?2?7??1d?，f?(1?i)?_______. 3??zsinz(z?)228、f(t)?eatsinkt的拉普拉斯变换为 。
9、已知f1?t??etu?t?,f2?t??tu?t?,则它们的卷积f1?t??f2?t?? 。
1的傅里叶(Fourier)逆变换为 。 22??a?dz? 。
10、F????得分
阅卷人 （签全名） 三、计算题（本大题共 5 题，每题 7 分，共 35 分）
1、设v?epxsiny,求p的值使v为调和函数，并求出解析函数
f(z)?u?iv.
2、若函数f(z)?洛朗级数。
1在下列圆环域1?z?2?2内是解析的，把f(z)在这个区域内展开成
z(1?z)
e2z3、计算积分I??dz。 2(z?1)z?2
4、计算积分?
??
x2???x2?4?2dx
?y????3y???3y??y??1,5、求解微分方程?
?y??(0)?y?(0)?1,y(0)?2. 得分
阅卷人 （签全名） 四、证明题（本大题共 1 题，每题 5 分，共 5 分）
?ezdz，从而证明：?ecos?cos?sin??d???. 求积分?z?1z0
山东中医药大学生物医学工程专业2009年级（本科）
《复变函数与积分变换》期末考试试卷（A卷）标准答案与评分标准
一、 单项选择题（本大题共10 题，每题3 分，共 30 分）
1、B 2、B 3、A 4、A 5、D 6、D 7、A 8、C 9、D 10、C 二、 填空题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分）
?10??10?1、cos； 2、w?3t2?4t2i； ?isin33??2k???4[cos(?ln2)?isin(?ln2)],k?0,?1,?； 4、2； 5、3、2e（0，-1）；
446、2?(?6?13i)； 7、2?i；
?1?at?2aet?0?k?1?tt?1?e8、； 9、； 10、t?0； ?22(s?a)?k?2a?1at?2aet?0?三、 计算题（本大题共 5 题，每题 7 分，共 35 分）
1、解：因vx?pepxsiny,vxx?p2epxsiny,vy?epxcosy,vyy??epxsiny，要使v(x,y)为调和函数，则有?v?vxx?vyy?0 即 p2epxsiny?epxsiny?0
（3分）
所以 p??1时，v为调和函数，要使f(z)解析，则有 ux?vy， uy??vx u(x,y)??uxdx??epxcosydx?1p1pxecosy??(y) p uy??epxsiny???(y)??pepxsiny （2分）
所以 ??(y)?(11?p)epxsiny,?(y)??(?p)epxcosy?c pp即 u(x,y)?pepxcosy?c，故
xz??e(cosy?isiny)?c?e?c,p?1 （2分） f(z)???x?z???e(cosy?isiny)?c??e?c,p??11z?2?1,?1,所以 z?2211111z?2z?22 ????[1??()?] 3分 z2?(z?2)21?z?2222211111112 ??????[1??()?] 3分
11?z1?(z?2)z?21?z?2z?2z?2z?2111z?2z?221112 f(z)???[1??()?]?[1??()?]
z1?z222z?2z?2z?21111z?2(z?2)2???????? 1分
(z?2)3(z?2)2(z?2)2482、解：在1?z?2?2内,
3、解：被积函数f(z)在z?2的内部有二级极点z?1， 2分
de2z22Res[f(z),1]?lim[(z?1)]?2?e 3分 2z?1dz(z?1)I?2?i{Res[f(z),0]}?4?e2i 2分
x24、解：z?2i为 f(z)?2 在上半平面的二级极点， 2(x?4)
（2分）
z2原式=2?iRes[2,2i]=（3分）
(z?4)2
z2i?? ?2?ilim[]?2?i?(?)?z?2i(z?2i)284
5、解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得
（2分）
S3Y(S)?S2y(0)?Sy?(0)?y??(0)?3(S2Y(S)?Sy(0)?y?(0))
1 （4分） S1(S3?3S2?3S?1)Y(S)?1??2(S2?3S?3)?(S?3)
S1 ?(2S3?5S2?4S?1)
S1?(2S?1)(S?1)2 S?3(SY(S)?y(0))?Y(S)??2S?111??
S(S?1)SS?1即 Y(S)? （2分）
复变函数与积分变换生物医学工程专业2009级期末考试试卷(A卷)傅爽
