圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义
：
2
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F当常数等于
的距离的和等于常数
且此常数2a一定要大于FF2a，12
，
F1F2
时，轨迹是线段F1F
2
，当常数小于
F1F2
时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数
。若
2a，
且此常数
2a一定要小于
|FF|，定义中的“绝对值”与
12
2a＜|F1F2|不可忽视2a＝|F1F2|，则轨迹是以
如（1）已知定点
F，F为端点的两条
1
2
射线，若
2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
A．
F1(3,0),F2(3,0)，在满
足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
2
22
PF1
2
PF2(x6)
2
4B．PF1y
2
PF2
6C．PF1PF210
D．PF1PF；（2）方程12（答：C）(x6)
2
y8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
”，其商即是离心率
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母
e。圆锥曲线的第
。如已知点
二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化
Q(22,0)及抛物线y
2.圆锥曲线的标准方程
x
2
4
上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
：
（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）
（1）椭圆：焦点在
x轴上时
xa
22
yb
2
22
（a1b0）
x
yacosbsin
（参数方程，其中为参数），焦点在
y轴上时
ya
22
xb
22
＝1（
2
aby
2
2
。方程Ax0）
ByC表示椭圆的充要条件是什么？（
____（答：
ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程
x3
k2k
1表示椭圆，则
2
2
k的取值范围为
(3,
12
)(
12
；（2）若x,y,2)）R，且3x
2
2y
2
6，则x
y
的最大值是____，
xy
的最小值是___（答：
22
22
5,2）
y
ya
22
（2）双曲线：焦点在
x轴上：
xa
yb
=1，焦点在轴上：
xb
22
＝1（
a0,b0
2
）。方程
Ax
2
By
2
C表示双曲线
的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。如（1）双曲线的离心率等于
5，且与椭圆x2
y
2
94
1有公共焦点，则该双曲线的方
程_______（答：
x
2
4
y
2
；（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e1）
2的双曲线
C过点
P(4,10)，
则C的方程为_______（答：
x
2
y
2
6）
（3）抛物线：开口向右时
2
y
2
2px(p0)，开口向左时y
2
2px(p0)，开口向上时x
2
2py(p0)，开口向下时
x2py(p0)。
（首先化成标准方程，然后再判断）
：
3.圆锥曲线焦点位置的判断
2
2
（1）椭圆：由
x
,
y
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程
x
m1
2
y
2
2m
1表示焦点在
y轴上的椭圆，
则m的取值范围是__（答：
2
(y
2
,1)
(1,)）
2
3
（2）双曲线：由
x
,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点
F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、
是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，
双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数
a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，
2
首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，
4.圆锥曲线的几何性质
：
a最大，a
b
2
c
2
，在双曲线中，
c最大，
c
2
a
2
b
2
。
（1）椭圆（以
xa
22
yb
22
1（ab0）为例）：①范围：axa,byb；②焦点：两个焦点(c,0)
2a，短轴长为
；③对称性：
两条对称轴
x0,y0，一个对称中心（
ca
0,0），四个顶点
(a,0),(0,b)，其中长轴长为2b；④准线：两条准线
x
a
2
c
105
；⑤离心率：
e
，椭圆
0
e1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
如（1）若椭圆
x
2
y
2
5m
1的离心率
e
，则
25
）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为m的值是__（答：3或3
1时，则椭圆长轴的最小值
为__（答：
22）
x2a
2
（2）双曲线（以
y2b
2
1（a0,b
0）为例）：①范围：x
0,0），两个顶点
a或x
a,yR；②焦点：两个焦点(c,0)
；③对称
性：两条对称轴
x0,y0，一个对称中心（(a,0)
，其中实轴长为
2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的
2
长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
x
2
y
2
k,k0；④准线：两条准线x
y
ba
a
c
；⑤离心率：
e
ca
，双曲线
e1，
等轴双曲线
e2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：
133
2
2
x。如（1）双曲线的渐近线方程是3x2y0，
则该双曲线的离心率等于______（答：
132
或）；（2）双曲线
axby1的离心率为5，则a:b=
（答：4
或
14
）；（3）设双曲线
xa
22
yb
22
1（a>0,b>0）中，离心率
e∈[
2,2],
则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：
[
32
,]）；
（3）抛物线（以
y
2
2px(p
y
0)为例）：①范围：x0,yR；②焦点：一个焦点(
p2
,0)
，其中
p的几何意义是：焦点到p2
；⑤离心率：
准线的距离；③对称性：一条对称轴
0，没有对称中心，只有一个顶点（
0,0）；④准线：一条准线
xe
ca
，
抛物线
e1。如设a0,axa
22
R，则抛物线yyb
22
4ax
2
的焦点坐标为________（答：
(0,
1）
)；16a
5、点
P(x0,y0)和椭圆
1（
ab（1）点0）的关系：
P(x0,y0)在椭圆外
xa
2
02
yb
202
（2）点P(x0,y0)1；
在椭圆上
xa
202
yb
202
＝1；（3）点
：
P(x0,y0)在椭圆内
xa
2
02
yb
202
1
6．直线与圆锥曲线的位置关系（1）相交：
0
直线与椭圆相交；
0
直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有
渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故线相交，但直线与抛物线相交不一定有
0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；
2
2
0，当直线与双曲线的
0直线与抛物
0也仅是
k的取值范围是
0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故
如（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则
直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
_______（答：(-
153
,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆
x
2
y
2
5
x
2
m
1恒有公共点，则
m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，
+∞））；（3）过双曲线
y
2
100
2
1的右焦点直线交双曲线于
00
A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；
（2）相切：（3）相离：
直线与椭圆相切；直线与椭圆相离；
直线与双曲线相切；直线与双曲线相离；
0
0
直线与抛物线相切；直线与抛物线相离。
,
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时
直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线
xa
22
yb
22
＝1外
一点
P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①
P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的
直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③
P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只
P如
P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④
为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
（1）过点
(2,4)作直线与抛物线y2
8x只有一个公共点，这样的直线有
43
453
______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线
x
2
y
2
916
1有且仅有
一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：
,
）；（3）过双曲线
x
2
y
2
2
1的右焦点作直线l
2
交双曲线于A、B
两点，若
AB
4，则满足条件的直线
l
有____条（答：3）；（4）对于抛物线C：
y
2
4x，我们称满足y0
4x0的点M(x0,y0)在
抛物线的内部，若点
M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线
作一直线交抛物线于
l
：
y0y
2(x
（5）过抛x0)与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；
物线
y
2
4x的焦点F
2
P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是
p、q，则
1p
1q
_______（答：1）；（6）设双
曲线
x
2
y
169
1的右焦点为F
，右准线为
l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于
7x2
4y2
P,Q,R，则PFR
和
QFR的大小
关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求椭圆
28上的点到直线3x2y160的最短距离（答：
81313
）；（8）直线
y
ax1与双曲线3x
2
y
2
1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当
3,3
；②
a为
何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①
7、焦半径（圆锥曲线上的点
a1）；
转化到相应准线的距离，
即焦半径
P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，
red，
其中
d
表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆
2
x
2
y
2
2516
1上一点P到椭圆左焦点的距离为
3，则点P到右准线的距离为
____（答：
353
）；（2）已知抛物线方程为
y8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于
M
7,(2,
5，则它到抛物线的焦点的距离等于
2
2
____；（3）若
该抛物线上的点
M
到焦点的距离是4，则点的坐标为_____（答：
4)）；（4）点
2
P在椭圆
x
25y9
1上，它到左焦点的距
离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：
2
2
2512
）；（5）抛物线
y2x上的两点
A、B到焦点的距离和是5，则线段
AB的中点到
y轴的距离为
______（答：2）；（6）椭圆
xy
43
1内有一点P(1,1)，F为右焦点，在椭圆上有一点
M，使
MP2MF
之值最小，则点M的坐标为_______（答：
(
263
；,1)）
问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线
8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）
上的一点
P(x0,y0)到两焦点F1,F2
2
的距离分别为
r1,r2，焦点F1PF2的面积为S，则在椭圆
b
2
xa
22
yb
22
1中，
①＝
2b
arccos(
r1r2
P
1)，且当
r1r2即P为短轴端点时，
最大为
max
＝
arccos
22
ca
2
2
；②
Sbtan
2
2
c|y0|，当|y0|b即
为短轴端点时，
Smax的最大
bcot
2
值为bc；对于双曲线
xa
22
yb
1
的焦点三角形有：①
arccos1
2b
2
r1r2
；
②
S
12
r1r2sin
2
。如（1）短轴长为
5，离心率e
y
2
2
的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，3a(a
2
则
2
（答：6）；（2）设P是等轴双曲线xABF2的周长为________
0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2F1F2
0，
|PF1|=6，则该双曲线的方程为（答：
x
2
y
2
；（3）椭圆4）
x
2
y
2
94
→→
、F，点P为椭圆上的动点，当PF2·PF1
1的焦点为F12
<0时，点P的横坐标的取值范围是（答：
3535
；（4）双曲线的虚轴长为(,)）
55
4，离心率e＝
62
，F1、F2是它
的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且
AB
是
AF2
与
BF2
等差中项，则
AB
＝__________（答：
；82）
（5）已知双曲线的离心率为
2
2
2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且
F1PF260
，
S
PF1F2
123．求该双曲线的标准方
程（答：
xy
412
；1）
：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（2）设AB为焦点弦， M为准线与x
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质
轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为延长线交准线于
C，则BC平行于x轴，反之，若过
A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的
C点，则A，O，C三点共线。
B点平行于x轴的直线交准线于
A、B，且
10、弦长公式：若直线
ykxb与圆锥曲线相交于两点
x1,x2分别为A、B的横坐标，则
AB
＝
1k
2
x1x2
，
若
y1,y2分别为
A、B的纵坐标，则
AB
＝
1
1k
2
y1y2
，若弦AB所在直线方程设为
xky则ABb，
＝
1k
2
y1y2
。
特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义
，B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）A（x1，y1）；（2）
求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于过抛物线
y
2
2x焦点的直线交抛物线于
A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；
22
22
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
xa
yb
1中，以P(x0,y0)为中点
的弦所在直线的斜率k=－
bx0ay0
2
2
；在双曲线
xa
22
yb
2
2
1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率
2
2
k=
bx0ay0
2
2
；在抛物线
y
2
2px(p0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率
k=
py0
。如（1）如果椭圆
xy
36
22
9yb
22
1弦被点
A（4，2）平分，那么
这条弦所在的直线方程是（答：
x2y8；（2）已知直线0）
y=－x+1与椭圆
xa
1(ab0)相交于
A、B两点，
且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：
22
）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆
x
2
y
2
43
1
上有不同的两点关于直线
y4xm对称（答：
213213
,1313
）；
特别提醒：因为12．你了解下列结论吗（1）双曲线x
2a（2）以
2
0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验
？
0！
yb
22
1的渐近线方程为
xaxa
2222
ybyb
2222
0；
1共渐近线）的双曲线方程为
xa
2
22
y
ba
x为渐近线（即与双曲线
yb
2
22
(为参数，
≠0）。如与双曲线
x9
2
y16
2
1有共同的渐近线，且过点
(3,23)的双曲线方程为
_______（答：
4x9
y
4
1）
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
mx
2ba
2
2
ny
2
1；
b
2
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为焦准距为
，焦准距（焦点到相应准线的距离）为
c
，抛物线的通径为
2p，
p；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
2
（6）若抛物线
y2px(p
y
2
0)的焦点弦为2px(p
AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|x1x2p；②x1x2
(2p,0)
p
2
4
,y1y2
p
2
（7）若OA、OB是过抛物线13．动点轨迹方程：
0)顶点
O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：
高考数学几何圆锥曲线习题精选精讲 - 图文
