北师大版数学九年级下册：圆 知识点总结

2016最新版初三下册数学知识点总结 第一天 第一章 直角三角形边的关系

※一. 正切：

正切 即tanA?; ．．?A的邻边?A的对边?A的对边正弦，即sinA?;

斜边余弦，即cosA? sinα cosα tanα 0o 0 1 0 30 o 1 245 o 60 o ?A的邻边;

斜边3 23 32 22 21 3 21 2①sinA?cos(90???A)；

3 cosA?sin(90???A)

sinA+cosA=1

2

2

a?b?c 21 (6)直角三角形的外接圆半径R?c

2 (5)直角三角形的内切圆半径r?※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即i?．．．．（第二天）第三章 圆 1. 点与圆的位置关系及其数量特征：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d d>r. 二. 圆的对称性:

※1. 与圆相关的概念：

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ．．．

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ．．⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. ．．．

※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

h?tanA l※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相

等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组

量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

（第三天）三. 圆周角和圆心角的关系:

※1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. ※2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；

※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； ※四. 确定圆的条件:

※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:

经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.

※2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.

※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:

(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的

外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.

(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. （第四天）五. 直线与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；

①d 直线L和⊙O相交. ②d=r <===> 直线L和⊙O相切. ③d>r <===> 直线L和⊙O相离.

※3. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.

（第五天）5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. ※6. 三角形内心的性质:

(1)三角形的内心到三边的距离相等.

(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.

由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.

※2. 两圆位置关系的性质与判定:

(1)两圆外离 <===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r

(3)两圆相交 <===> R-r

(4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r) (5)两圆内含 <===> dr)

※3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. ※4. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦. （第六天）七. 弧长及扇形的面积

※1. 圆周长公式:圆周长C=2?R (R表示圆的半径) ※2. 弧长公式: 弧长l?n?R (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 1802※5. 圆的面积公式. 圆的面积S??R (R表示圆的半径) ※6. 扇形的面积公式: 扇形的面积S扇形n?R2? (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 360八. 圆锥的有关概念:

※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:

圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.

如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:

11S侧?cl??2?rl??rl

22S表?S侧?S底面??rl??r2??r(r?l)

¤九. 与圆有关的辅助线

1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线. 2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.

3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线. 4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线. ¤十. 圆内接四边形

若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.

圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.

※十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理（数学优秀者请理解）

1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分

_ A两条切线的夹角。

如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA=PB，PO平分∠APB

_ O2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B

_ B 3．和圆有关的比例线段：

_ 6 图

①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；

_ P