第二节 利用导数解决函数的单调性问题
［最新考纲］ 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不会超过三次）
函数的单调性与导数的关系
条件 函数y＝f（x）在区间（a，结论 f′（x）＞0 f′（x）＜0 f′（x）＝0 f（x）在（a，b）内单调递增 f（x）在（a，b）内单调递减 f（x）在（a，b）内是常数函数 b）上可导 ［常用结论］ 1.在某区间内f′（x）＞0（f′（x）＜0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件.
2.可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对?x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零.
一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）＞0.
（ ）
（2）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.
（ ）
（3）在（a，b）内f′（x）≤0且f′（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）内是减函数.
（ ）
［答案］ （1）× （2）√ （3）√ 二、教材改编
1.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A.在区间（－3,1）上f（x）是增函数 B.在区间（1,3）上f（x）是减函数 C.在区间（4,5）上f（x）是增函数
D.在区间（3,5）上f（x）是增函数
C ［由图象可知，当x∈（4,5）时，f′（x）＞0，故f（x）在（4,5）上是增函数.］ 2.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性是（ ） A.先增后减 C.增函数
B.先减后增 D.减函数
D ［因为f′（x）＝－sin x－1＜0在（0，π）上恒成立， 所以f（x）在（0，π）上是减函数，故选D.］ 3.函数f（x）＝x－ln x的单调递减区间为 .
1
（0,1］ ［函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，由f′（x）＝1－≤0，得0＜x≤1，
x所以函数f（x）的单调递减区间为（0,1］.］
4.已知f（x）＝x－ax在［1，＋∞）上是增函数，则实数a的最大值是 . 3 ［f′（x）＝3x－a≥0，即a≤3x，
又因为x∈［1，＋∞ ），所以a≤3，即a的最大值是3.］
2
2
3
考点1 不含参数函数的单调性 求函数单调区间的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域. （2）求f′（x）.
（3）在定义域内解不等式f′（x）＞0，得单调递增区间. （4）在定义域内解不等式f′（x）＜0，得单调递减区间.
1.函数f（x）＝1＋x－sin x在（0,2π）上是（ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.在（0，π）上增，在（π，2π）上减 D.在（0，π）上减，在（π，2π）上增
A ［f′（x）＝1－cos x＞0在（0,2π）上恒成立，所以在（0,2π）上单调递增.］ 12
2.函数y＝x－ln x的单调递减区间为（ ）
2A.（－1,1］ C.［1，＋∞） 12
B ［∵y＝x－ln x，
2
B.（0,1］ D.（0，＋∞）
1（x－1）（x＋1）
∴x∈（0，＋∞），y′＝x－＝.
xx由y′≤0可解得0＜x≤1，
12
∴y＝x－ln x的单调递减区间为（0,1］，故选B.］
2
3.已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsin x＋cos x，则f（x）的单调递增区间是 .
?－π，－π?和?0，π? ［f′（x）＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， ??2?2?????
令f′（x）＝xcos x＞0，
π??π??则其在区间（－π，π）上的解集为?－π，－?和?0，?，
2??2??π??π??即f（x）的单调递增区间为?－π，－?和?0，?.］
2??2??
求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错.如T2. 考点2 含参数函数的单调性
研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. 1
已知函数f（x）＝2x2－2aln x＋（a－2）x，当a＜0时，讨论函数f（x）的
单调性.
2a（x－2）（x＋a）
［解］ 函数的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝x－＋a－2＝.
xx（x－2）①当－a＝2，即a＝－2时，f′（x）＝≥0，f（x）在（0，＋∞）上单调递
2
x增.
②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时，∵0＜x＜－a或x＞2时，f′（x）＞0；－a＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，－a），（2，＋∞）上单调递增，在（－a,2）上单调递减. ③当－a＞2，即a＜－2时，
∵0＜x＜2或x＞－a时，f′（x）＞0；2＜x＜－a时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0,2），（－a，＋∞）上单调递增，在（2，－a）上单调递减.
综上所述，当a＝－2时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当－2＜a＜0时，f（x）在（0，－a），（2，＋∞）上单调递增，在（－a,2）上单调递减；当a＜－2时，f（x）在（0,2），（－a，＋∞）上单调递增，在（2，－a）上单调递减.
含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于（或小于）零的不等式的解，在划
分函数的单调区间时，要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间断点.
已知函数f（x）＝ln（ex＋1）－ax（a＞0），讨论函数y＝f（x）的单调区间.
e1
［解］ f′（x）＝x－a＝1－x－a.
e＋1e＋1①当a≥1时，f′（x）＜0恒成立， ∴当a∈［1，＋∞）时， 函数y＝f（x）在R上单调递减. ②当0＜a＜1时，
由f′（x）＞0，得（1－a）（e＋1）＞1， 1ax即e＞－1＋，解得x＞ln ，
1－a1－a由f′（x）＜0，得（1－a）（e＋1）＜1， 1ax即e＜－1＋，解得x＜ln .
1－a1－a∴当a∈（0,1）时，
xxx?，＋∞?函数y＝f（x）在?ln?上单调递增，
?1－a?
在?－∞，ln 上单调递减. 1－a???
综上，当a∈［1，＋∞）时，f（x）在R上单调递减；
a?
a?
?，＋∞?当a∈（0,1）时，f（x）在?ln ?上单调递增，
?1－a?
在?－∞，ln 上单调递减.
1－a???
考点3 已知函数的单调性求参数 根据函数单调性求参数的一般方法
（1）利用集合间的包含关系处理：y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集.
（2）f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子区间上，f′（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
（3）函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.
1
已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝2ax2＋2x（a≠0）.
（1）若函数h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在［1,4］上单调递减，求a的取值范围.
a?
a?
12
［解］ （1）h（x）＝ln x－ax－2x，x∈（0，＋∞），
2
1
所以h′（x）＝－ax－2，由于h（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，
x1
所以当x∈（0，＋∞）时，－ax－2＜0有解，
x12
即a＞2－有解.
xx12
设G（x）＝2－，
xx所以只要a＞G（x）min即可.
2
?1?而G（x）＝?－1?－1，
?x?
所以G（x）min＝－1.
所以a＞－1且a≠0，即a的取值范围是（－1,0）∪（0，＋∞）. （2）由h（x）在［1,4］上单调递减得，
1
当x∈［1,4］时，h′（x）＝－ax－2≤0恒成立，
x12
即a≥2－恒成立.
xx2
?1?所以a≥G（x）max，而G（x）＝?－1?－1，
?x?
1
因为x∈［1,4］，所以x∈
，
7
所以G（x）max＝－（此时x＝4），
167
所以a≥－16且a≠0，即a的取值范围是［母题探究］
1.（变问法）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在［1,4］上单调递增，求a的取值范围. ［解］ 由h（x）在［1,4］上单调递增得，当x∈［1,4］时，h′（x）≥0恒成立， 12
所以当x∈［1,4］时，a≤2－恒成立，
∪（0，＋∞）.
xx?12?又当x∈［1,4］时，?2－?min＝－1（此时x＝1）， xx?
?
所以a≤－1且a≠0，即a的取值范围是（－∞，－1］.
2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2利用导数解决函数的单调性问题教学案苏教版
