北京大学附属中学数学几何模型压轴题单元测试题（Word版 含解
析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．
（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．
（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．
（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．
【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32． 【解析】 【分析】
（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE（SAS）即可解决问题；
（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；
（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C共线时，分别求解即可． 【详解】
解：（1）结论：DE＝2DG．
理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，
∵∠AEF＝∠B＝90°， ∴EF∥CM， ∴∠CMG＝∠FEG， ∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF， ∴△CMG≌△FEG（AAS）， ∴EF＝CM，GM＝GE， ∵AE＝EF， ∴AE＝CM，
∴△DCM≌△DAE（SAS）， ∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM， ∴∠EDM＝∠ADC＝90°， ∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM， ∴△EGD是等腰直角三角形， ∴DE＝2DG．
（2）如图2中，结论成立．
理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．
∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM， ∴△CGM≌△FGE（SAS）， ∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF， ∴CM∥ER， ∴∠DCM＝∠ERC， ∵∠AER+∠ADR＝180°， ∴∠EAD+∠ERD＝180°， ∵∠ERD+∠ERC＝180°， ∴∠DCM＝∠EAD， ∵AE＝EF， ∴AE＝CM，
∴△DAE≌△DCM（SAS）， ∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM， ∴∠EDM＝∠ADC＝90°， ∵EG＝GM， ∴DG＝EG＝GM，
∴△EDG是等腰直角三角形， ∴DE＝2DG．
（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，
在Rt△ADC中，AC＝AD2?CD2＝52?52＝52，
在Rt△AEC中，EC＝AC2?AE2＝(52)2?12＝7， ∴CF＝CE﹣EF＝6，
1CF＝3， 2∵∠DGC＝90°，
∴CG＝
∴DG＝CD2?CG2＝52?32＝4， ∴DE＝2DG＝42．
②如图3﹣3中，当E，F，C共线时，同法可得DE＝32．
综上所述，DE的长为42或32． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y?ax?bx?c的顶点是A(1，3)，将OA绕点O顺时针旋转90?后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与
?OAB的边分别交于M，N两点，将?AMN以直线MN为对称轴翻折，得到?A?MN． 设点P的纵坐标为m．
①当?A?MN在?OAB内部时，求m的取值范围；
5②是否存在点P，使S?A?MN?S?OAB,若存在，求出满足m的值；若不存在，请说明理
6由．
42【答案】?1?y??x?2x?2；（2）①?m?3；②存在，满足m的值为6?19或
3'6?39． 3【解析】 【分析】
（1）作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，然后证明△AOD≌△BOE，则AD=BE，OD=OE，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）①由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时；点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M在线段OA上，点N在AB上时；当点M在线段OB上，点N在AB上时；先求出直线OA和直线AB的解析式，然后利用m的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m的值． 【详解】
解：（1）如图：作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵将OA绕点O逆时针旋转90?后得到OB， ∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°， ∴∠AOD=∠BOE， ∴△AOD≌△BOE， ∴AD=BE，OD=OE， ∵顶点A为（1，3）， ∴AD=BE=1，OD=OE=3， ∴点B的坐标为（3，?1）， 设抛物线的解析式为y?a(x?1)?3， 把点B代入，得
2a(3?1)2?3??1，
∴a??1，
∴抛物线的解析式为y??(x?1)?3， 即y??x2?2x?2；
（2）①∵P是线段AC上一动点， ∴m?3，
∵当?A?MN在?OAB内部时， 当点A'恰好与点C重合时，如图：
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北京大学附属中学数学几何模型压轴题单元测试题(Word版 含解析)
