2024届高三好教育精准培优专练
培优点十四 外接球
一、构造正方体与长方体的外接球问题
例1：已知直三棱柱ABC?A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB?3，AC?4，AB?AC，
AA1?12，则球O的半径为（ ）
A．317 2B．210
C．
13 2D．310 【答案】C
【解析】∵AB?AC，∴直三棱柱ABC?A1B1C1的底面ABC为直角三角形， 把直三棱柱ABC?A1B1C1补成长方体，
32?42?12213则长方体的体对角线就是球O的直径，即球O的半径为?．
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二、与正棱锥有关的外接球问题
例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（ ） A．
33 4B．
3 3C．
3 4D．
3 12【答案】C
【解析】∵正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上， ∴球心是底面三角形的中心，
1332??(3)?1?1∵球的半径为，∴底面三角形的边长为3，即该正三棱锥的体积为． 344
三、其他柱体、锥体的外接球问题
例3：已知A,B是球O的球面上的两点，?AOB?90?，C为该球面上的动点，若三棱锥O?ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ） A．36π 【答案】C
【解析】设球O的半径为R，则S△AOB?B．64π
C．144π
D．256π
12R， 2当OC?平面AOB时，三棱锥O?ABC的体积最大， 此时V?112?R?R?36，解得R?6， 322所以球O的表面积为S?4π?6?144π．
对点增分集训
一、选择题
1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个 球面上，则这个球的表面积是（ ） A．16π 【答案】C
【解析】正四棱柱的高为4，体积为16，则底面面积为4，即底面正方形的边长为2， 正四棱柱的对角线长即球的直径为26，即球的半径为6，球的表面积为24π．
2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ ）
B．20π
C．24π
D．32π
A．3π 【答案】A
【解析】把原来的几何体补成以DA，DC，DP为长、宽、高的长方体， 原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，
B．43π
C．12π
D．123π
2R?l?12?12?12?3，R?332，S球=4πR?4π??3π．
423．直三棱柱ABC?A则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） 1B1C1中，AB?BC，AB?BC?AA1?2，A．4π 【答案】C
【解析】∵在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC，AB?BC?AA1?2， ∴AB，BC，AA1为棱构造一个正方体，
B．8π
C．12π
D．
32π 322?22?22?3，故表面积为S?4πR2?12π． 则外接球的半径R?24．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB?BC?AC?3，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ） A．
169π 16B．
289π 16C．
25π 16D．8π
【答案】B
【解析】设△ABC的中心为E，过点E作平面ABC的垂线l， 则有题意可知，点D在直线l上，△ABC的面积为S?13?3?3?sin60??3． 24113由体积的最大值可得?S?DE??3?DE?3，则DE?4．
334由题意易知，外接球的球心在DE上， 设球心为点O，半径OD?OB?R．
△ABC的外接圆半径满足asinA?2r，即3?2r，∴r?BE?1．
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