数列·例题解析
【例1】 求出下列各数列的一个通项公式
13579(1)，，，，，…48163264
2468(2)，，，，…31835631111(3)?，，?，，…381524
1925(4)，2，，8，…222解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n－1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n，所以，已知数列的
通项公式为：an=2n?1． 2n+1(2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n的(2n－1)与2n＋1的积，也即(2n－1)(2n＋1)，因此，所给数列的通项公式为：
2nan?．
(2n?1)(2n?1)(3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n与n＋2的积，也即n(n＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因
此，所给数列的通项公式为：
an?(?1)n·1． n(n?2)1491625(4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为
222221，4，9，16，25，…是序号n的平方即n2，分母均为2．因此所
n2给数列的通项公式为an=．
2【例2】 求出下列各数列的一个通项公式． (1)2，0，2，0，2，…
111(2)1，0，，0，，0，，0，…
357(3)7，77，777，7777，77777，… (4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…
解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式an＝(－1)n+1＋1．
所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的
?2通项公式an=??0(n为奇数)(n为偶数)这一题说明了数列的通项公式不唯一．
111101(2)所给数列1，0，，0，，0，，…可以改写成，，，357123
0101，，，…分母组成的数列为1，2，3，4，5，6，7，…是自然4567数列n，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看
作是2，
1(?1)n?1?10，2，0，2，0，…的每一项的构成为，因此所给数列的通22 n?1(?1)?1项公式为an?．2n7(3)所给数列7，77，777，7777，77777，…可以改写成×9，
977777×99，×999，×9999，×99999…，可以看作×(10－1)，999997777×(100－1)，×(1000－1)，×(10000－1)，×(100000－1)，… 99997因此所给数列的通项公式为an= (10n－1)．9(4)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写
22222成×0.9，×0.99，×0.999，×0.9999，×0.99999，…可以看9999922222作×(1－0.1)，×(1－0.01)，×(1－0.001)，×(1－0.0001)，× 9999921(1－0.00001)，…因此所给数列的通式公式为an=(1?n)．910说明
1．用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来．
2．对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，an=n；自然数的平方数列，an＝n2；奇数数列，an＝2n－1；偶数数列，an=2n；
1倒数数列，an＝)要很熟悉，由联想将较复杂的数列通过合理的转化归
n纳出数列的通项公式．
3．要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列．
【例3】 已知数列2，5，22，11，…则25是这个数列的第
几项．
解 由所给数列的前4项2，5，22，11可归纳得通项公式为an=3n?1．此时运用方程的思想问题转化为25?3n?1解关于正整数n 的方程，解得n＝7，即25是该数列的第7项．【例4】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n (2)Sn＝n2＋1 (3)Sn＝2n＋3 (4)Sn＝(－1)n+1·n 解 (1)当n=1时，a1=S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，因此an=4n－5．
(2)当n＝1时，a1＝S1=1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，由于a1不适合于此等式，
n=1?2 因此，an=?2n?1 n≥2且n∈N*．?(3)当n＝1时，a1=S1＝2＋3=5；
当n≥2时，an=Sn－Sn-1＝2n＋3－(2n-1＋3)＝2n-1，由于a1不适合于此等式，
n=1?5 因此，an＝?n?12 n≥2且n∈N*．?
(4)当n＝1时，a1＝S1=(－1)2·1=1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=(－1)n+1·n－(－1)n·(n－1)=(－1)n+1(2n－1)，由于a1也适可于此等式，因此an＝(－1)n+1(2n－1)，n∈N*．
说明 已知Sn求an时，要先分n＝1和n≥2两种情况分别进行计算，然后验证能否统一．
【例5】 已知an=an?1＋ 1(n≥2)，a1＝1， n(n?1)(1)写出数列的前5项； (2)求an．
1解 (1)由已知an=an?1＋ (n≥2)，a1=1得n(n?1)13a2＝1??
2·(2?1)2319?15a3＝???23·26351a4＝??34·371a5＝??45·451217???312124
71369???420205(2)由第(1)小题中前5项不难求出．
an?2n?11(或an?2?) nn【例6】 数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2．
(1)求a3＋a5；
(2)256是此数列中的项吗？ 225
解 由已知：a1·a2·a3·…·an＝n2得
an?a1·a2·a3·……·ana1·a2·a3·……·an?1(n≥2，n∈N*)n2an?，n≥2．(n?1)2由于a1＝1不适合于此等式．因此
?1 ?an=?n2?(n?1)2，?n=1 n≥2且n∈N*
325261(1)a3＋a5=2?2?1624256n2(2)令?，解方程可得n=16
225(n?1)2256∵n＝16∈N*，∴是此数列的第16项．225说明 (1)“知和求差”、“知积求商”是数列中常用的基本方法．
(2)运用方程思想求n，若n∈N*，则n是此数列中的项，反之，则不是此数列中的项．
【例7】 已知数an=(a2－1)(n3－2n)(a=≠±1)是递增数列，试确定a的取值范围．
解法一 ∵数列{an}是递增数列，∴an+1＞an an+1－an＝(a2－1)[(n＋1)3－2(n＋1)]－(a2－1)(n3－2n) ＝(a2－1)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n] ＝(a2－1)(3n2＋3n－1) ∵(a2－1)(3n2＋3n－1)＞0
又∵n∈N*，∴3n2＋3n－1=3n(n＋1)－1＞0 ∴a2－1＞0，解得a＜－1或a＞1．
解法二 ∵{an}是递增数列，∴a1＜a2即：
(a2－1)(1－2)＜(a2－1)(8－4)
化简得 a2－1＞0 ∴a＜－1或a＞1
说明 本题从函数的观点出发，利用递增数列这一已知条件，将求取值范围的问题转化为解不等式的问题
高一数学数列测试题
