第55讲 轨迹
求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验．其中检验就是指检验点轨迹的纯粹性和完备性．常用的求轨迹方程的方法有定义法、直接法、代入法、参数法等．
A类例题 例1．半径为1的圆C过原点O，Q为圆C与x轴的另一个交点，OQRP为平行四边形，其中RP为圆C的切线，P为切点，且点P在x轴上方，当圆C绕原点O旋转时，求R点的轨迹．
分析 当圆C绕原点O旋转时，圆心C到原点O的距离|OC|＝1，所以圆心C运动的轨迹是单位圆，由于R点与圆心有关，所以只要把圆心的坐标用R点的坐标表示，再代入C点的轨迹方程，便可得到R点的轨迹方程．
解 设圆心C(x0，y0)，则Q(2x0，0)且由PR∥OQ，RP与圆C相切知，P(x0，y0＋1)，从而R(3x0，y0＋1)．
因为|OC|＝1，即x0＋y0＝1．
x
设R(x，y)，则x＝3x0，y＝y0＋1，即x0＝3，y0＝y－1． x2
代入上式，得＋(y－1)2＝1(x≠0)．
9
说明 本题采用的方法是求轨迹方程的常用方法——代入法：如果轨迹动点P(x，y)依赖于另外的动点Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲线上，则可以先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，再把a、b代入已知曲线方程，从而求得动点P的轨迹方程．
例2．已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且以y轴为右准线，并过定点P(1，2)．
(1)求此双曲线右焦点F的轨迹；
(2)过P与F的弦与右支交于Q点，求Q点的轨迹方程．
5
解 (1)由于2a＝b＋c，则b2＝4a2＋c2－4ac，所以e＝，
4(x－1)2＋(y－2)25
设右焦点F(x，y)，又双曲线定义，得＝，
1425
所以(x－1)2＋(y－2)2＝16．
5
所以，双曲线的右焦点F的轨迹是以(1，2)为圆心，为半径的圆．
4|PF|＋|QF|5|PF||QF|
(2)设Q(x，y)，由双曲线的定义，得＝＝e，所以，＝，
1e41＋x5
即(x－1)2＋(y－2)2＝(1＋x)，整理得9x2－16y2＋82x＋64y－55＝0．
4
说明 本题采用的方法一般称为直接法：直接利用题目中的等量关系，或利用平面几何知识推出等量关系，从而求出轨迹方程．
例3．一动圆过点(0，6)且与圆x2＋y2＝100内切．求这动圆圆心的轨迹．
分析 根据已知条件，可设动圆圆心为(x，y)，动圆半径为r．因为动圆过点(0，6)，则x2＋(y－6)2＝r．又因为与圆x2＋y2＝100内切，则x2＋y2＝10－r，消去参数r即可．
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2
2
解 设F(0，6)，动圆圆心P(x，y)，半径为r(r＞0)． 由动圆过F，则|PF|＝r．
又动圆与圆x2＋y2＝100内切，则|OP|＝10－r， 于是点P满足|PO|＋|PF|＝10，
即点P的轨迹为{P||PO|＋|PF|＝10}．
由椭圆的定义，点P的轨迹是以(0，3)为中心，长轴为10，短轴为8，焦点在y轴上的椭圆．
x2(y－3)
即方程为＋＝1．
1625
说明 本题所采用的方法一般称为定义法．
2
情景再现
aa
1．已知ΔABC中，A为动点，B、C为定点，B(－，0)，C(，0)，且满足sinC－sinB
221
＝sinA，则动点A的轨迹方程为______________________． 2
|BP|
2．已知抛物线y2＝x＋1，定点A(3，1)，B为抛物线上任一点，点P在线段AB上，且|PA|1
＝，当点B在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程． 2
3．过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB，求线段AB中点M的轨迹方程．
B类例题 x2y2xy
例4．已知椭圆24＋16＝1，直线l：12＋8＝1．P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2．当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995全国高考题)
解 设P，R，Q的坐标分别为(xP，yP)，(xR，yR)，(x，y)，其中x，y不同时为零． 由题设|OQ|·|OP|＝|OR|2，则x·xP＝xR2． 设OP的方程为y＝kx．
?yP＝kxP，24由?得xP2＝，
2＋3k?2xP＋3yP＝24．?yR＝kxR，48
由?得xR2＝， 22
2＋3k2?2xR＋3yR＝48．
ylPQROx4＋6k??x＝2，
因为x·xP＝xR2，则得?2＋3k
??y＝kx．这就是Q点的参数方程，消去参数k得 (x－1)2(y－1)2
5＋5＝1，(其中x、y不同时为零)． 23当P在y轴上时，k不存在，此时Q(0，2)满足方程，
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故Q点轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为
1015和且长轴与x轴平行的椭圆，23
去掉坐标原点．
说明 本题也可以用极坐标来解决：设Q(?cosθ，?sinθ)，P(?1cosθ，?1sinθ)，R(?2cosθ，?2sinθ)．于是有
?1(2cos2θ＋3sin2θ)＝48，?2(2cosθ＋3sinθ)＝24， 则得?1＝
2
2
4824
． 2，?2＝2cosθ＋3sinθ2cosθ＋3sinθ
22
?14cosθ＋6sinθ
从而得?＝＝．
?22cos2θ＋3sin2θ
所以?2(2cos2θ＋3sin2θ)＝?(4cosθ＋6sinθ)，即2x2＋3y2＝4x＋6y．
例5．求椭圆的所有互相垂直的两条切线焦点的轨迹．(1979年广西省赛题)
分析 可以先设出两条切线方程和切点交点坐标，然后根据与椭圆相切的条件，求出相应的关系，最后设法消去参数即可．
x2y2
解 设椭圆的方程为a2＋b2＝1，交点为(X，Y)的两条互相垂直的切线为 l1： y－Y＝k(x－X)， 1
l2： y－Y＝－k(x－X)． l1与椭圆的切点(x，y)的横坐标满足
x2[Y＋k(x－X)]
＝1， a2＋b2即 (a2k2＋b2)x2＋2a2k(Y－kX)x＋a2[(Y－kX)2－b2]＝0
由于l1与椭圆相切，故
Δ＝4a4k2(Y－kX)2－4(a2k2＋b2)a2[(Y－kX)2－b2]＝0 整理得(a2－X2)k2＋2XYk＋(b2－Y2)＝0 (1) 又由于l2与椭圆相切，同理可得
1122
(a2－X2)k2－2XY·＋(b－Y)＝0 (2) k
(1)＋(2)·k2，得
(a2－X2)(1＋k2)＋(b2－Y2)(1＋k2)＝0
即X2＋Y2＝a2＋b2．
又此椭圆的与x轴垂直的切线为x＝±a，与其垂直的切线为y＝±b，它们的交点(±a，±b)也满足此圆的方程．
所以所求的轨迹是以椭圆中心为圆心，a2＋b2为半径的圆．
x2
说明 本题的难点在于如何消去参数k．我们还可以采用下面的方法来消k．由于椭圆2＋ay22222＝1的斜率为k的切线方程为y＝kx±ak＋b，于是相互垂直的切线方程分别为 b
1y＝kx±ak＋b (1)，和y＝－kx±
2222
a22
2＋b (2)； k
(1)式即为y－kx＝±a2k2＋b2， (3)
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江苏省数学竞赛《提优教程》教案：讲轨迹
