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北京四中数学必修一【知识讲解】1.1集合的含义及表示(提高)

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集合及集合的表示(B层) 编稿:丁会敏 审稿:王静伟

【学习目标】

1.了解集合的含义,会使用符号“?”“?”表示元素与集合之间的关系.

2.能选择自然语言、图象语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.

3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如常用数集、解集和一些基本图形的集合等.

【要点梳理】

集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用.

要点一、集合的有关概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.

2.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集. 3.关于集合的元素的特征

(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则x或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素.

(3)无序性:集合中的元素的次序无先后之分.如:由1,2,3组成的集合,也可以写成由1,3,2组成一个集合,它们都表示同一个集合.

4.元素与集合的关系:

(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a?A

(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作a?A 5.集合的分类

(1)空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作:?. (2)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集.

高中数学

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6.常用数集及其表示

非负整数集(或自然数集),记作N 正整数集,记作N*或N+ 整数集,记作Z 有理数集,记作Q 实数集,记作R

要点二、集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.

1. 自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法.如:大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.

2. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内.如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},….

3.描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{ }内.具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

4.图示法:图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观,我们常常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,这种表示集合的方法称为韦恩(Venn)图法. 如下图,就表示集合?1,2,3,4?.

1,2,3,4 【典型例题】

类型一:集合的概念及元素的性质

例1 集合A由形如m?3n(m?Z,n?Z)的数构成的,判断的元素?

答案:是

解析:由分母有理化得,

1是不是集合A中

2?31?2?3.由题中集合A可知m?2,n?1,均有

2?3高中数学

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m?Z,n?Z,?2?3?A,即1?A.

2?3点评:(1)解答本题首先要理解?与?的含义,然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的,11能否化成此形式,进而去判断是不是集合A中的元素.(2)判断

2?32?3一个元素是不是某个集合的元素,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题,主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.

举一反三:

【变式1】设S={x|x=m+2n,m,n?Z} (1)若a?Z,则是否有a?S?

(2)对S中任意两个元素x1,x2,则x1+x2,x1·x2,是否属于集合S? 解:(1)若a?Z,则有a?S,即n=0时,x?Z,∴a?S;

(2)?x1,x2?S,则x1=m1+2n1,x2=m2+2n2(m1,n1,m2,n2?Z)

?x1?x2?(m1?m2)?2(n1?n2)?S(m1?m2?Z,n1?n2?Z) x1?x2=(m1+2n1)?(m2+2n2)=m1m2+2n1n2+2(m1n2+m2n1)

∵m1,n1,m2,n2?Z,∴m1m2+2n1n2?Z,m1n2+m2n1?Z ∴x1·x2?S.

类型二:元素与集合的关系 例2.用符号“?”或“?”填空.

,  32____{x|x?4};(1)23_____{x|x?11}

2,n?N?},   5___{x|x?n2?1,n?N?};(2)3___{x|x?n?1

,___{y|y?x},  (?11),___{(x,y)|y?x}. (3)(?11)解析:给定一个对象a,它与一个给定的集合A之间的关系为a?A,或者a?A,二者必居其一.解答这类问题的关键是:弄清a的结构,弄清A的特征,然后才能下结论.对于第(1)题,可以通过使用计算器,比较各数值的大小,也可以先将各数值转化成结构一致的数,再比较大小;对于第(2)题,不妨分别令x=3,x=5,解方程;对于第(3)题,要明确各个集合的本质属性.

22高中数学

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