v??11222222[?x??y??z?2?(?x?y??y?z??z?x)]?(?xy??yz??zx) 2E2G 5－23 试求图a中所示的纯切应力状态旋转45°后各面上的应力分量，并将其标于图b中。然后，应用习题5－22中的结果，分别计算图a和b两种情形下的应变比能，并令二者相等，从而证明：
G?E
2(1??) 解：?1?|?0|，?3?1?|?0|，?2?0
由（a）图 v??1(|?0|)2 2G由（b）图 v??1[(|?0|)2?02?(?|?0|)2?2?|?0|?0 2E
习题5-23图
?0?(?|?0|)?|?0|(?|?0|)] ?1??(|?0|)2 E11??E(|?0|)2?(|?0|)2 ∴G? 2GE2(1??)1?2?(?1??2??3) E 两式相等
5－24 试证明主应力为?1、?2、?3的三向应力状态，其体积应变为
??? 解：由广义胡克定律：
1 ?1?[?1??(?2??3)]
E1 ?2?[?2??(?3??1)]
E1 ?3?[?3??(?1??2)]
E1?2?(?1??2??3) ?1??2??3?E1?2?(?1??2??3) 体积应变 ????1??2??3?E 5－25 关于用微元表示一点处的应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。 （A）微元形状可以是任意的；
（B）微元形状不是任意的，只能是六面体微元；
（C）不一定是六面体微元，五面体微元也可以，其它形状则不行；
（D）微元形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的应力。 正确答案是 D 。
5－26 对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的点A，试用平衡概念分析下列四种应力状态中哪一种是正确的。
正确答案是 C 。 解：（A）不满足切应力互等定律； （B）不满足平衡；
（C）既可满足切应力互等，又能达到双向的平衡； （D）不满足两个方向的平衡。
习题5-26图
5－27 微元受力如图所示，图中应力单位为MPa。试根据不为零主应力的数目，它是：
— 93 —
（A）二向应力状态； （B）单向应力状态； （C）三向应力状态； （D）纯切应力状态。 正确答案是 B 。 解：?1? ?2?50?5050?502?()?502?100MPa 2250?5050?502?()?502?0MPa 22 ?3?0，为单向应力状态。
5－28 试分析图示的四个应力状态是否等价，有下列四种答案。 （A）四者均等价；
（B）仅（a）和（b）等价； （C）仅（b）、（c）等价； （D）仅（a）和（c）等价。 正确答案是 D 。 解：
（a）图：?x?0，?y?0，?xy???0 （b）图：?x??0?(??0)?0?(??0)?22 ?y??0?(??0)??x?0 ?xy?cos(2?45?)?0
sin(2?45?)??0 2(??0)??0(??0)??0 （c）图：?x??cos(2?45?)?0
22 ?y??0?(??0)??x?0 (??0)??0sin(2?45?)???0 2 （d）图：?x???0，?y??0，?xy?0 ?xy?
习题5-28图
?0?(??0) 5－29 关于习题5－28图示的四个应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。 （A）其主应力和主方向都相同； （B）其主方向都相同，主应力不同； （C）其主应力、主方向都不相同； （D）其应变比能都相同。 正确答案是 D 。
解：四个应力状态的主应力，?1??0、?2?0、?3???0；其主力
方向虽不全相同，但应变比能与主应力值有关，因此它们的应变比能相同。
5－30 关于图示应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。 （A）最大主应力为500MPa，最小主应力为100MPa； （B）最大主应力为500MPa，最大切应力为250MPa； 习题5-30图 （C）最大主应力为500MPa，最大切应力为100MPa； （D）最小主应力为100MPa，最大切应力为250MPa。 正确答案是 B 。
500?0?250MPa。 解：?1= 500MPa，?2= 100MPa，?3= 0，?max?2 5－31 对于图示的应力状态（?1＞?2＞0），最大切应力作用面有以下四种，试选择哪一种是正确的。 （A）平行于?2的面，其法线与?1夹45°角； （B）平行于?1的面，其法线与?2夹45°角；
（C）垂直于?1和?2作用线组成平面的面，其法线与?1夹45°角； （D）垂直于?1和?2作用线组成平面的面，其法线与?2夹30°角。 正确答案是 A 。
5－32 关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系，有如下论述，试选择哪一种是正确的。
— 94 —
习题5-31图
（A）有应力一定有应变，有应变不一定有应力； （B）有应力不一定有应变，有应变不一定有应力； （C）有应力不一定有应变，有应变不一定有应力；
（D）有应力一定有应变，有应变一定有应力。 正确答案是 B 。
5－33 对于图示的应力状态，若测出x、y方向的正应变?x、?y，试确定材料的弹性常数有： （A）E和?； （B）E和G； （C）G和?； （D）E、G和?。 正确答案是 D 。 解：E??E?，???，G?。 ??x2(1??)2(?x??y)?x?y
习题5-33图
5－34 试确定材料的三个弹性常数之间的关系G?E/[2(1??)]成立的条件是：
（A）各向同性材料，应力不大于比例极限； （B）各向同性材料，应力大小无限制； （C）任意材料，应力不大于比例极限； （D）任意材料，应力大小无限制。 正确答案是 A 。
第6章 杆件横截面的位移分析
6－1 直径d = 36mm的钢杆ABC与铜杆CD在C处连接，杆受力如图所示。若不考虑杆的自重，试： 1．求C、D二截面的铅垂位移；
Fl2．令FP1 = 0，设AC段长度为l1，杆全长为l，杆的总伸长?l?P2，写出E的表达式。
EAFN(kN)
150
100 x
习题6-1图
(a) (F)l(F)l 解：（1）uC?uA?NAB2AB?NBC2BC
πdπdEsEs44 ?0? uD?uC?150?103?2000?100?103?3000200?103?2.947??4π?362?2.947mm
(FN)CDlCDπd2Ec4100?103?2500?4105?103?π?362?5.286mm
（2）
FP2lFlF(l?l1) ??l??lAC??lCD?P21?P2EAEsAEcA?1??1 ??EEsEclEcEs 令??1
lEc??(1??)Es?A0xFP E? 6－2 承受自重和集中载荷作用的柱如图所示，其横截面积沿高度方向按A(x)?A0e
— 95 —
变化，其中?为
FPO?lAoxd?材料的比重。试作下列量的变化曲线： 1．轴力FNx(x)； 2．应力?x(x)； 3．位移u(x)。 解：（1）???0，(FN
?dFN)??A(?)d??FN?0
?A0?FPdFN???A(?)d???A0?ed?
?FN(x)-FPdFN???A0?e0x?A0?FPd?
?A0x?A0x
FN(x)??FP?(FPeFP?FP)??FPe???A0xFP
?A0x （2）?(x)?FN(x)?FPeFP??A0xA(x)A0eFPFP A0 （3）du???FN(x)dx??EA(x)?FPeEA0eFP?A0xFPdx???FPdx EA0 u??FPxFlF?C，当u|x?l?0。∴C?P，则u(x)?P(l?x)
EA0EA0EA06－3 图示连接件由两片宽20mm、厚6mm的铜片与一片同样宽厚的钢片在B处连接而成。已知钢与
铜的弹性模量分别为Es = 200GPa，Ec = 105GPa，钢片与铜片之间的摩擦忽略不计。试求E和B处的位移。
B EC12KNC12kN 24kN BE24kN 24KNA24KNx 4m0.3m6mm
12KNFN12kN 0.9mFN xx
E B 习题6-3图 (a) (b) 3(FN)ABlAB12?10?0.3?103 解：uB?uA??0??0.2857mm
Ec?Ac105?103?20?6(FN)BElBE24?103?0.9?103 uE?uB??0.2857??1.186mm
Es?As200?103?20?6 6－4 长为1.2m、横截面面积为1.10?10?3m2的铝制筒放置在固定刚块上，直径为15.0mm的钢杆BC
悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别为
FP?60kNEs = 200Gpa，Ea = 70GPa，FP = 60kN。试求钢杆上C处位移。
OB BFP60kN AsA'2.1mEa
1.2mEs AFP?60kNC FPx x
(a) 习题6-4图 (b)
?FPlAB 解：uA?uB?（其中uA = 0）
EaAa ∴ uB?60?103?1.2?10370?103?1.10?10?3?106?0.935mm
— 96 —
FPlBC60?103?2.1?103?0.935??4.50mm 钢杆uC?uB?EsAs3π2200?10??154 6－5 变截面圆锥杆下端B处固定，上端A处承受外力偶矩T作用，如图所示，试证明A端扭转角表达式为
7Tl ?A?12πGr4 解：Mx = T
???llMxdx2Tdx?2Tl1?7Tl ?BA? ?????4πx43πr4?x3?00412GπrG[2r(x)]Gπ[(1?)r](1?)习题6-5图 ?32ll???0 6－6 试比较图示二梁的受力、内力（弯矩）、变形和位移，总结从中所得到的结论。
l??FPl3 48EIFllFl(P)?(P)()3lFPl3(b)22222 wmax? ???3EI23EI24EI 两者弯矩相同，挠曲线曲率相同，但（b）梁的最大挠度比（a）梁要大，即不相等。
(a) (b) 习题6-6图
?max(b) wmax
wmax
(a-1) (b-1)
xx
Fl MFpl4M 4
(a-2) (b-2)
6－7 对于图a、b、c、d所示的坐标系，小挠度微分方程可写成d2w/dx2??M/EI形式有以下四种。试判断哪一种是正确的。 （A）图b和c； （B）图b和a； （C）图b和d； （D）图c和d。
正确答案是 D 。
习题6-7图
6－8 图示悬臂梁在BC二处承受大小相等、方向相反的一对力偶，其数值为M0。试分析判断下列挠度曲线中哪一种是正确的。
正确答案是 D 。
MOMO
EICDA
B
(a) 解：wmax?pfmax习题6-8图
x
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Mdw?EIdx22MoEIAB1C1D1
材料力学习题集[有答案]
