解：1．?x??cos(2?60?)??xysin(2?60?)
22100?50100?50?co1s20???xysin120? 代入数据 100?22 ?xy??43.3MPa
? ?y???x??y??x??100?50?100?50MPa ?x?y??100?50sin(2?60?)?(?43.3)cos(2?60?)?43.3MPa 2?x??y?x??y??1100?501?125MPa?(100?50)2?4?(?43.3)2???? 2． ??222?25MPa
???3?0MPa2?(?43.3)1?)?30? ?P?arctan(2100?50 5－10 试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为MPa。 140MPa14040MPa
?150 yx150 90 300240MPa200MPa 90 (a) (b)
(a-1) (b-1) 习题5-10图
??1300?1401?390MPa?(300?140)2?4?(?150)2???? 解：图（a）：??322?50MPa
?Pa??2?90M ?max?390?50?170MPa 2??1200?401?290MPa?(200?40)2?4?(?150)2???? 图（b）：??222??50MPa
?Pa??3??90M???3290?(?90)??190MPa ?max?122 5－11 对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力?max＜160MPa，试求?xy取何值。 解：1．当半径r＞OC
1240?1402(240?140)2?4?xy? 22 即 |?xy|?183.3MPa时
（1）
??1240?14012?(240?140)2?4?xy ?? 22??3 ?max? 解得|?xy?1??32|<152MPa
?121002?4?xy?160 2（2）
习题5-11图
由（1）、（2）知，显然不存在。 2．当r＜OC
— 88 —
1240?1402 (240?140)2?4?xy?22 即 |?xy|＜183.3MPa时
240?1401?2?(240?140)2?4?xy??1? ? 22??3?0????338012 ?max?1??1002?4?xy?160 解得|?xy|＜120MPa
244 所以，取|?xy|＜120MPa。
5－12 对于图示的应力状态，若要求垂直于xy平面的面内最大切应力???150MPa，试求?y的取值范围。
解：应力圆半径r????150MPa 1． CD??1502?802?126.9MPa OC??140?126.9??13.1MPa
?y?(?140) ??13.1
2 ?y?113.8MPa
2． CD??126.9
OC??140?126.9??266.9MPa
?y?(?140) ??266.9
2 ?y??393.8MPa
E(?y.?yx)r?OE(?y,?yx)?D'OD'Cr?C?
r =150 Dr?150D(?140.?80)(?140.?80)(a) (b)
5－13 图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。 1．只承受轴向载荷FP = 250 kN；
2．只承受内压p = 5.0MPa（两端封闭）
3．同时承受轴向载荷FP = 250kN和内压p = 5.0MPa（两端封闭）
x x' xx'20?20?x ?x?x' ?x'y' ?x'y'
?y ?y ?x习题5-13图
(b) (a)
解：
（1）图a：?x? ?x??FP250?103??34.07MPa（压） πD?π?(300?8)?8?34.07?34.07?cos(2?20?)??30.09MPa 22?34.07sin(2?20?)??10.95MPa ?x?y??2pD5?(300?8)??45.63MPa （2）图b：?x?4?4?8pD5?(300?8)??91.25MPa ?y?2?2?845.63?91.2545.63?91.25?cos(2?20?)?50.97MPa ?x??2245.63?91.25sin(2?20?)??14.66MPa ?x?y??2 — 89 —
（3）图a、图b叠加：?x?45.63?34.07?11.56MPa ?y?91.25MPa
11.56?91.2511.56?91.25?cos(2?20?)?20.88MPa
2211.56?91.25sin(2?20?)??25.6MPa ?x?y??2 所以也可（1）与（2）结果叠加得到。
5－14 图示的薄壁圆筒，由厚度为8mm的钢板制成，平均直径1m。已知钢板表面上点A沿图示方向正应力为60MPa。试求圆筒承受的内压p。
3 解：tan?? ?y431?()22?1?tan??x4?0.28 ? cos2???x1?tan2?1?(3)24??90?p?100?62.5p ?x?2?8?yx'p?1000 ?31.25p ?y?
4?8习题5-14图 (a)
62.5p?31.25p62.5p?31.25p?cos(2(??90?))??x??60
2260?1.412MPa p?46.88?15.63?0.28 5－15 图示外径D = 760mm、壁厚?= 11mm的钢管，上端与蓄水池A连接，下端与泵房B连接。已知水的密度?= 1000kg/m3。试求钢管在静态下的最大正应力与最大切应力。
?x?? 解：管内内压p??gh?1000?9.8?122?10?6?1.20MPa
1.20?(760?11)?40.85MPa ?1??环向?2?11 ?3?0
40.85?0?20.43MPa
22
习题5-15图 5－16 结构中某一点处的应力状态如图所示。试：
1．当?xy?0，?x?200MPa，?y?100MPa时，测得由?x、?y引起的x、y方向的正应变分别为 ?max??1??3??x?2.42?10?3，?y?0.49?10?3。求结构材料的弹性模量E和泊松比?的数值。
2．在上述所示的E、v值条件下，当切应力?xy?80MPa，?x?200MPa，?y?100MPa时，求?xy。 1?v(?x??y)E 解：（1）两式相除
1?v?x??y?(?x??y)E1???x??y?x??y200?1002.42?10?3?0.49?10?3?????0.5
1???x??y?x??y200?1002.42?10?3?0.49?10?3?x??y? 解得r?1 3 E?(1??)(?x??y)1200?100?(1?)?68.7MPa
(?x??y)32.42?10?3?0.49?10?3E68.7?103 （2）G???25.77?103MPa
12(1??)2(1?)3
习题5-16图 ?xy80 ?xy???3.1?10?3 3G25.77?10 5－17 图示结构中，铝板的左边和下边被固定，上方与右方与刚性物体之间的间隙分别为?y= 0.75mm，?x= 1.0mm。已知E = 70GPa，?= 0.33。??24?10?6?1/℃。试求温升?t= 40℃和?t= 80℃时板中的最大切应力（假定板在自身平面内受力不发生弯曲）。
— 90 —
解：（1）当?t= 40℃
t?6 (?l)??0.768mm＜?x x?lx?t???800?40?24?10t?6 (?l)??0.576mm＜?y y?ly?t???600?40?24?10 所以铝板内无温度应力，?max?0 （2）当?t= 80℃
t?6 (?l)??1.536mm＞?x x?800?80?24?10t?6 (?l)??1.152mm＞?y y?600?80?24?10t ?x?800??x?(?l)?x
800t[?qx??(?qy)]??x?(?l)?x E1 ?x?(?x?v?y)
E1.536?1.0)?46.9 ∴qx?0.33qy?70?103?(800600t[?qy??(?qx)]??y?(?l)? y E1.152?0.75)?46.9 qy?0.33qx?70?103?(600 所以解得 qx = qy = 70MPa（压） ?1?0，?2??3??70MPa
（1）
（2）
0?(?70)?35MPa 2 5－18 对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E、?，且由实验测得?x和?y。试证明：
?max? ?x?E ?y?E?x???y1???y???x2
1??2?(?x??y) ?z??1??E(?x??y) 解：?x??y?（1） 1??E(?x??y) ?x??y?（2） 1??2v?y??2?x?? （1）＋（2），2?x?E??1?v21?v2?
??2?y??2v?x?? （1）－（2），2?y?E??1?v21?v2?
???x?v?y?y?v?x ∴ ?x?E， ??Ey1?v21?v2??E?(?x??y)??(?x??y) ?z??(?x??y)???EE1??1?? 5－19 图示构件在z方向上的正应变被限制为零，即?z= 0。这时垂直这一方向上的截面保持平面，
而且两相邻截面间的距离保持不变，此即所谓平面应变问题的一种。已知?x、?y和E、?。试证明： ?z??(?x??y)
1[(1??2)?x??(1??)?y] E1 ?y?[(1??2)?y??(1??)?x]
E1解：?z= 0，[?z??(?x??y)]?0，所以?z??(?x??y)
E ?x? — 91 —
习题5-19图
1[?x??(?z??y)]E1?{?x??[?(?x??y)??y]}
E1?[(1??2)?x??(1??)?y]E1?y?[?y??(?z??x)]E1?{?y??[?(?x??y)??x]}
E1?[(1??2)?y??(1??)?x]E 5－20 承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器如图所示。已知内压p = 3.5MPa，材料的E = 75GPa，?= 0.33。试求圆筒的半径改变量。
3.5?(254?2?7.6)?59.36MPa 解：?轴?4?7.63.5?(254?2?7.6)?118.72MPa ?环?2?7.6 ?径??3.5MPa
?x?2π(r??r)?2πr?r?
2πrr1?r??环?r?[?环??(?轴??径)]E
1 ?[118.72?0.33(59.36?3.5)]?254?0.34mm75?103 5－21 液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa，?= 0.30。试求当内压p = 10MPa时，液压缸内径的改变量。
解：缸体上 ?轴?0
?环? ?环? ?径10?(50?4)?115MPa
2?2??10MPa
习题5-21图
1[115?0.3(0?10)](50?2?2)?2.65?10?2mm 3205?10 5－22 试证明对于一般应力状态，若应力应变关系保持线性，则应变比能
?d内?v??11222222[?x??y??z?2?(?x?y??y?z??z?x)]?(?xy??yz??zx) 2E2G111111?x?x??y?y??z?z??xy?xy??yz?yz??zx?zx （1） 222222 解：应变比能v??1???[?x??(?y??z)]x?E????1[???(???)]zx?yEy????1[???(???)]xy?zEz 广义胡克定律?
1?????xyGxy???yz?1?yzG??1??zx??zxG? （2）代入（1）得：
（2）
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材料力学习题集[有答案]
