3． ?2max?MxT? Wpπd3?14??1?()?16?2?41()4???2max??1max?12?????6.67% ??1max1??41?(1)4152 4－7 图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚?= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。
MT 解：?轴max?x?13?60?106
Wp1πd1636π?66 T1?60?10??10?9?3387N·m
16MT2?60?106 ?套max?x?3Wp2πd?684??1?()?16?80? T2?60?106?π?80317???10?9?1?()4??288N3·m 1620??
习题4-7图
∴ Tmax?T2?2883N·m?2.88?103N·m
4－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的
内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2 = n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：
Ts1?n2? Th1?n22R 解：由已知长度和质量相等得面积相等：
2πR02?π(R2TSTS??R12)Tsπ?
3R0（1）
（2）
Th ?max?Tsπd163R2R12Th ?max?Thπ(2R2)3(1?n4)16 由（2）、（3）式
3TsR0?3 ThR2(1?n4)22?R2?R12 由（1） R0 （3）
（4）
代入（4） ∴
Ts?Th3222(R2?R1)3R2(1?n4)?(1?322n)1?n4?322(1?n)(1?n2)(1?n2)?1?n21?n2
4－9 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为?，横截面上的扭矩均为T = Mx。试：
1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力
2Mx?max?
?πD2 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力
3M?max?2x
?πD 3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。
DD??dA????πD? 解：1．Mx?习题4-9图 A22?
— 78 —
∴ ??
8πD2?πD2 2．由课本（8－18）式
2Mx3Mx3M??2x ?max?22hbπD???πD
4－10 矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶作用，如图所示。若已知T = 400N·m，试分别确定二杆横截面上的最大切应力。
Mx400 解：?amax???15.4MPa
c1hb20.208?50?502?10?9 ?bmax?2Mx 即：?max?2Mx (a)
(b)
Mxc1hb2?4000.246?70?352?10?9?19.0MPa
习题4-10图
4－11 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。已知T = 30N·m，且最大切应力均不能超过60MPa。试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。
Mx?60?106 解：?amax?3πd16 da?3 ?amax?29.4mm
π?60?1060π?106MxMxMx????60?106 233c1hbc1db0.208db616T?316?300 db?3 ?cmax?0.02886m?28.9mm 0.208?60?106Mx300???60?106 23c1hb0.246?2dc3006300
习题4-11图
dc?32?0.246?60?10 三者长度相同，重量之比即为面积之比。
2πdaAπ0.029422)?0.816 a?42?(Ab40.02886db?0.02166m?21.66mm
π2daAaπdπ0.0294224??(a)2?()?0.724 2Ac8dc80.021662dc ∴ Aa:Ab:Ac?1:0.816:0.724
4－12 直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚?=1.25mm的薄壁管，
当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试：
1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 解：设轴受T = 73.6N·m时，相对扭转角为?0 且
d?0T ?dxGIp1（1）
T撤消后，管受相对扭转角?2，则轴受相对扭转角
习题4-12图
?1??0??2，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。
?1??2??0
（2）
— 79 —
TlMlM?l?x?x GIp1GIp1GIp2Ip2Ip1?Ip2（3） （4）
Mx?M?x ∴ Mx?T
?0?1?2（5） （6）
?hmax? Ip1Tp2MxTTD???? Wp2Ip1?Ip2Wp2Ip1?Ip22πd4π??(25)4?10?12?38349.5?10?12 3232 (a)
πD4?D?2?4?π?754?72.54? Ip2?1?()??1?()??10?12?393922?10?12m4 ??32?D32?75?? 将Ip1、Ip2值代入（6）得
7573.6??10?32 管：?hmax??6.38MPa
(38349.5?393922)?10?122573.6??393922?10?3Ip2?TMxdd2?????21.86 MPa 轴：?smax?Ip12Ip1(Ip1?Ip2)2(38349.5?393922)?38349.5?10?12 4－13 由钢芯（直径30mm）和铝壳（外径40mm、内径30mm）组成的复合材料圆轴，一端固定，另一端承受外加力偶，如图所示。已知铝壳中的最大切应力?amax?60MPa，切变模量Ga = 27GPa，钢的切变模量Gs = 80GPa。试求钢芯横截面上的最大切应力?smax。 解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同?s??a??（r = 15mm） ?amax? ?a(r)? Ma?Ma WpaMar?Ga?a Ipar
rGaIpa?aR ∴ ?amax?Wpa? ?smax(r)?GaIpa?ar 习题4-13图
Gs??amax?Wpa?rGs??amax?r80?60?15Ms?Gs?s?Gs?a????133MPa WpsGa?IpaGa?R27?20 4－14 若在圆轴表面上画一小圆，试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状？使小圆产生如此变形的是
什么应力？
答：小圆变形成椭圆，由切应力引起。
小圆方程为：x2?y2?R2，R为小量 小圆上一点A(x,y)，
当圆轴扭转时，A无水平位移，所以x??x（平面假设） A垂直位移：v?(d?x)?2LdA(x,y)A(x?,y?)x?
y??y?v?y?(d?x) ∴ y?y??(d?x)2?2L
2ly?2L
2 ???2 将坐标代入：(x?)??y??(d?x?)??R
2L?? (1???2d?dd2?222??????)(x)?2()xy?(y)?2()x?2y?(?R2)?0 2222L2L4L4L4L1??2?2?4L2?2L?0，所以为椭圆型方程。
1 二次项系数：?2?2L — 80 —
* 4－15 关于弯曲切应力公式??FQSz/(bIz)应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析哪一种是正
确的。
（A）细长梁、横截面保持平面；
（B）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布； （C）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面； （D）弹性范围加载，横截面保持平面。
正确答案是 B 。
* 解：公式??FQSz(bIz)推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力?x则要求弯曲正应力
公式成立；另外推导时在?Fx?0时，应用了?沿截面宽度均匀分布假设。
4－16 试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是： （A）横截面保持平面； （B）不发生扭转；
（C）切应力公式应用条件； （D）切应力互等定理。 正确答案是 D 。
4－17 槽形截面悬臂梁加载如图示。图中C为形心，O为弯曲中心。并于自由端截面位移有下列结论，试判断哪一种是正确的。
（A）只有向下的移动，没有转动； （B）只绕点C顺时针方向转动；
（C）向下移动且绕点O逆时针方向转动； （D）向下移动且绕点O顺时针方向转动。
正确答案是 D 。
4－18 等边角钢悬臂梁，受力如图所示。关天截面A的位移有以下习题4-17图 论述，试分析哪一种是正确的。
（A）下移且绕点O转动； （B）下移且绕点C转动； （C）下移且绕z轴转动； （D）下移且绕z?轴转动。 正确答案是 D 。
习题4-18图
4－19 试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。
正确答案是 A 。
(a) (b) (c) (d)
习题4-19图
4－20 四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中O为弯曲中心。试
*分析哪几种情形下可以直接应用?x??Mzy/Iz和??FQSz/(bIz)计算横截面上的正应力和切应力。 （A）仅（a）、（b）可以； （B）仅（b）、（c）可以； （C）除（c）之外都可以； （D）除（d）之外都不可能。 正确答案是 D 。
习题4-20图
4－21 简支梁受力与截面尺寸如图所示。试求N－N截面上a、b 两点的铅垂方向的切应力以及腹板与翼缘交界处点c的水平切应力。 解：FQ = 120kN，形心C位置。
180?20?90?2?160?20?10?65.38mm d?180?20?2?160?20?20?1803?160?2032?20?180?(90?65.38)???160?20?55.382?33725128mm4 Iz?2???1212?? — 81 —
*? Sza*? Szb*? Szc????74.62?114.62?34.6220ydy?10(74.622?114.622)??75696mm3 20ydy?10(34.622?114.622)??119392mm3 20ydy?10(65.382?114.622)??88632mm3 ?120?103?75696?10?920?10?3?33.725128?10?6?13.5MPa（↓）
?114.6265.38?114.62 ?a? ?b? ?c?*FQSza? Iz120?103?119392?10?920?10?3?33.725128?10?6120?103?88632?10?920?10?3?33.725128?10?6?21.2MPa（↓） ?15.8MPa（→）
习题4-21图
F(kN)
y120
120
4－22 梁的受力及横截面尺寸如图所示。试：
1．绘出梁的剪力图和弯矩图； 2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；
3．确定梁内横截面上的最大切应力； 4．画出横截面上的切应力流。 解：1．图（a）：?MA?0
QycdzCFRAba
yczCba
习题4-22图
8kN?myq zC 8?q?4?2?FRB?4?0 FRB?18kN
?Fy?0，FRA?22kN
剪力与弯矩图如图（b）、（c）； 2．形心C位置
80?20?10?80?20?60?60?20?110d? 80?20?2?60?20?55.45mm33CAFRABFRB(a)
d
(d)
22(kN)yFQCA1800B1880?2024?80?80?20?45.452?8121260?203 ?20?80?4.552??60?20?54.552 C
1264?7.855758?10mmMMmax??3 ?max??55.45?10
IzIz?z(b) A16.2(kN.m)B (e)
(c)
— 82 —
材料力学习题集[有答案]
