zPyP??1 bh66 2．若FP作用点确定，令（1）式等于零，得截面的中性轴方程（图b）：
zyP1?Pz?y?0b2h21212 （2） 整理得：
1h?y??2?0t6yP? 中性轴n－n的截距：? （3）
h?z??20t?6zP?Cz 说明中性轴n－n，与力FP作用点位于形心C的异
FP2侧，说明n－n划分为FP作用下的区域为压应力区，另
FP1一区域是拉应力区（见图b）。
yz 如果将（2）改写为2zP?2yP??1 （4）
1bh1212 并且把中心轴上一点（y, z）固定，即中性轴可绕该
z点顺时针转动（从1―1转到2―2）
由（4）式，FP作用必沿直线移动。由（3）式，2
(c)
－2直线的截距值大于1－1直线的。所以，当中性轴1－1顺时针转向中性轴2－2时，FP作用点FP1、FP2沿12直线，并绕形心也顺时针转向。
A33 如果中性轴绕A点从1―1顺时针转动至3―3（中性轴始终在截
面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将A坐标代入（4）式：zPyP??1，即FP沿该直线移动。从FP1→FP2→FP3，反之铅垂力FP1bhz662FP3FP2FP从FP1→FP2→FP3直线移动，截面不产生拉应力，同理过B、F、D分别找另三条FP移动的直线。这四条直线所围区域为截面核心。铅垂
BF压力在截面核心内作用，则横截面上不会有拉应力。
3－19 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力FP的作用线通过截面形心。试： y 1．已知FP、b、h、l和?，求图中虚线所示截面上点a的正应力；
(d) 2．求使点a处正应力为零时的角度?值。
解：My?FPlsin?，Wy? Mz?FPlcos?，Wz? ?a?hb2 6bh2 6MzMy6lF??2P(bcos??hsin?) WzWybh2
习题3-19图
bb，??tan?1 hh 3－20 矩形截面柱受力如图所示。试：
1．已知?= 5°，求图示横截面上a、b、c三点的正应力。 2．求使横截面上点b正应力为零时的角度?值。 解：FNx?FPcos?
令?a?0，则tan?? My(a)?FPsin??0.04
My(b)?2My(a)，My(c)?3My(a) 1．?a?FNxMyFcos?0.04FPsin???P? AWy0.1?0.040.1?0.0426 — 73 —
习题3-20图
FP(cos??6sin?)0.1?0.04
60?103?(cos5??6sin5?)0.004 ?7.10MPa
FNx2My(a)60?103????(cos5??12sin5?)??0.745MPa bAWy0.004? ?c? 2． ?b?FNx3My(a)???8.59MPa AWyFNx(cos??12sin?)?0 A1 tan??，?= 4.76°
12 3－21 交通信号灯柱上受力如图所示。灯柱为管形截面，其外径D = 200mm，内径d = 180mm。若已知截面A以上灯柱的重为4kN。试求横截面上点H和K处的正应力。
3.25 解：tan??，?=22.62°
7.8 FNy??(400?900?1950cos?)??6700N
Mz?1950sin??(7.8?0.6)?900?2.1?3510N·m
FNx?6700???1.12MPa πA22(0.2?0.18)4FNyMz3510 ?K????1.12??11.87MPa
πAWz34?0.2(1?0.9)32 3－22 No. 25a普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。试求图示横截面上a、b、c、d四点处的正应力。
解：A?48.5?10?4m2 ?H? Wz?401.88?10?6m3 Wy?48.283?10?6m3 FNx??100kN
Mz?100?103?0.125?25?103?0.5?25?103N·m My?(8?2)?103?0.6?9.6?103N·m
习题3-21图
习题3-22图
Mz?62.6MPa WzMyWy?199MPa
dMzCMyFNx??20.6MPa AFM ?a?Nx?z?41.6MPa
AWz ∴ ?c?z ?b? ?d?FNxMzMy???240MPa AWzWyFNxMzMy???116Mpa AWzWyay(a)
b
3－23 承受集度为q = 2.0kN/m均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d = 160mm的半圆形。梁斜置如图所示。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。
2d 解：qy?qcos20?，qz?qsin20?，yc?
3π习题3-23图
qy — 74 —
AqyBCqyBAMz(N.m)qy2?939.7N.mMzmax?qy?1?qy?1?
12 Mymax11?qy?qcos20??940N?m221?qsin20??342N·m 2
1πd41π?1604?10?12 Iy????16.1?10?6m4
2642641πd4πd22d2 Iz???()?4.4956?10?6m4
26483πMydM??z?yc?? ?maxIzIy29402?0.16342???0.08)?10?6 ?6?63π4.4956?1016.1?10 ?8.80MPa（左下角A点） 最大压应力点应在CD弧间，设为??
AqZqZqyBCAMyB342N?m ?(
(b)
yCDRCyC yC?M(Rsin??yc)Mymax?Rcos??? ?????zmax? （1）
II??zy??MzmaxIy940?16.1?10?6d????9.834 ?0，得：tan??IzMymaxd?4.4956?10?6?342?B ??84.19?代回（1）式，
A (c) 2?160??)?10?3?940(80sin84.19???3?342?80cos84.19??10??3π?????10?6??9.71MPa ?max?6?6??4.4956?1016.1?10???? 3－24 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示。试求N－Ｎ截面上a、b、c三点的正应力及最大拉应力。
解：MN?N?30kN·m
yc?
160?20?10?2?180?20?90160?20?2?180?20
16?2?2?18?2?9??65.38mm1.6?2?2?1.8?2160?203?160?20?55.382)1220?1803?20?180?(90?65.38)2) ?2(12 ?33725128mm4?33.725?10?6m4Iz?(习题3-24图
?c??0.05538?49.3MPa（压应力）
33.725?10?630000 ?b??(180?65.38?80)?10?3?30.8MPa（拉应力） ?633.725?10 ?a?30?10330?10333.725?10?6?(180?65.38?40)?10?3?66.4MPa（拉应力）
?(180?65.38)?10?3?102MPa（拉应力）
?max??d?30?103?633.725?10 3－25 根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析下列答案中哪一个是正确的。
（A）My = 0或Mz = 0，FNx?0； （B）My = Mz = 0，FNx?0； （C）My = 0，Mz = 0，FNx?0； （D）My?0或Mz?0，FNx?0。 正确答案是 D 。
— 75 —
解：正如教科书P168第2行所说，只要FNx?0，则其中性轴一定不通过截面形心，所以本题答案选（D）。
3－26 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心；
（D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。
解：本题解答理由可参见原书P167倒数第1行，直至P168页第2行止，所以选（D）。 3－27 关于斜弯曲的主要特征有四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A）My?0，Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴不一致，且不通过截面形心； （B）My?0，Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴不一致，但通过截面形心； （C）My?0，Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心； （D）My?0或Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心。
正确答案是 B 。
解：本题解答理由参见原书P167第2-3行。
3－28 承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图a、b、c所示。图a中的截面为一整体；图b中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图c中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为?max(a)、?max(b)、?max(c)。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A）?max(a)＜?max(b)＜?max(c)； （B）?max(a)＝?max(b)＜?max(c)； （C）?max(a)＜?max(b)＝?max(c)； （D）?max(a)＝?max(b)＝?max(c)。 正确答案是 B 。
M6M 解：?max(a)?3z?3z
dd6Mzd6M ?max(b)?23??3z
dd2d?212Mz2?d?12Mz ?max(c)?dd3d()34212 ∴选（B）。
习题3-28图
第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析
4－1 扭转切应力公式?(?)?Mx?/Ip的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。
（A）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B）等截面圆轴；
（C）等截面圆轴与椭圆轴；
（D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。
解：?(?)?Mx?Ip在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。
4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为?1max和?2max，切变模量分别为G1和G2。试判断下列结论的正确性。
（A）?1max＞?2max； （B）?1max＜?2max；
（C）若G1＞G2，则有?1max＞?2max； （D）若G1＞G2，则有?1max＜?2max。
— 76 —
正确答案是 C 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即?1??2??由剪切胡克定律??G?知G1?G2时，?1max??2max。
4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d1的实心圆轴与内、外径分别为d2、D2(??d2/D2)的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A）(1??4)32； （B）(1??4)32(1??2)； （C）(1??4)(1??2)； （D）(1??4)23/(1??2)。 正确答案是 D 。 解：由?1max??2max得
16Mx16Mx ?33πd1πd2(1??4)1d 即 1?(1??4)3
D2（1） （2）
W1A1d12 ??2W2A2D2(1??2)（1）代入（2），得 W(1??4) 1?W21??223
4－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外
层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1 = 2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。
正确答案是 C 。
G1?8-42G图解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等?1??2，因习题2，由剪切胡克定律得交界面上：?1?2?2。
习题4-5图
4－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。圆轴受扭后，已知横截面上点a(?a?d/4)的切应变?a??s，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的???关系，可以推知横截面上的切应力分布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。 正确答案是 A 。
4－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN·m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力；
2．轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
MxTT3?103?16????70.7MPa 解：1．?1max?WPWPπd3π?0.06316Mx2πMxr4???dA?????2π?d??? 2． Mr? A10IpIp4??r ∴
Mr2πr42πr416r41541????16?()??6.25% Mx4Ip6016πd4d44?32习题4-6图
— 77 —
材料力学习题集[有答案]
