2－10 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知截面E上的弯矩为零，试：
1．在Ox坐标中写出弯矩的表达式； 2．画出梁的弯矩图； 3．确定梁上的载荷； 4．分析梁的支承状况。
解：由FQ图知，全梁有向下均布q；B、D处有相等的向上集中力4ql；C处有向下的集中力2ql；结合M，知A、E为自由端，由FQ线性分布知，M为二次抛物线，B、C、D处FQ变号，M在B、C、D处取极值。
1 MB?MD??ql2，FQB = 4ql
217 MC??q(3l)2?4ql?2l?ql2 22习题2-10图 1．弯矩表达式：
0.50.51 M(x)??q?x?0?2，(0?x?l) C2AEBD1 M(x)??q?x?0?2?4ql?x?l?，(l?x?2l) 2M(ql2)13.5 M(x)??q?x?0?2?4ql?x?l??2ql?x?3l? 2(a) (3l?x?5l)
1M(x)??q?x?0?2?4ql?x?l?q 2 ?2ql?x?3l??4ql?x?5l?EABDC (5l?x?6l)
2ql1 M(x)??q?x?0?2?4ql?x?l?即 (b) 2 ?2ql?x?3l??4ql?x?5l? (0?x?6l) 2．弯矩图如图（a）； 3．载荷图如图（b）；
4．梁的支承为B、D处简支（图b）。 2－11 图示传动轴传递功率P = 7.5kW，轴FQ的转速n = 200r/min。齿轮A上的啮合力FR与水平切线夹角20°，皮带轮B上作用皮带拉力FS1 和FS2，二者均沿着水平方向，且FS1 = 2FS2。试：（分轮B重FQ = 0和FQ = 1800N两种情况） 习题2-11图 1．画出轴的受力简图；
FDzy 2．画出轴的全部内力图。 3FS2FCz 解：1．轴之扭矩：
DBCAx7.5TB?358N·m Mx?9549?FτF z200TAFDy FCy FrzFQ TA?TB?Mx?358N·m
T Fτ?A?2387N
0.32 Fr?Fτtan20??869N
yFQz(a) 23871432A(N)TB?1432N 0.52 轴的受力简图如图（a）。 2．① FQ = 0时， Fs2?
CD4296(b) Bx (N)FQy864— 63 — AC434D(c) BxFQ?0 ?MCz?0
?0.2Fr?0.4FDy?0.6FQ?0 FDy?434N ?Fy?0 FCy??1303N ② FQ = 1800 N时， ?MCz?0 FDy?1254N ?Fy?0 FCy??323N ?MCy?0
?0.2Fτ?0.4FDz?0.3?3FS2?0 FDz?5250N
?Fz?0，FCz?1432N MCy?0.2Fτ?477N·m MDy?3Fs2?0.2?859N·m MCz?Fr?0.2?173N·m FQ = 0时，MDz?0
FQ = 1800 N时，MDz??360N·m
M(N?m)
2－12 传动轴结构如图所示，其一的A为斜齿轮，三方向的啮合力分别为Fa = 650N，Fτ = 650N，Fr = 1730N，方向如图所示。若已知D = 50mm，l = 100mm。试画出： 1．轴的受力简图； 2．轴的全部内力图。
解：1．力系向轴线简化，得受力图（a）。 50 Mx?650??10?3?16.25N·m
2 Mz?650?0.025?16.25N·m
yFQy(N)8691800 546ACDBxFQ?1800N1335 Mx(d) (N?m) 1335x358 (e) 859477ACC (f) Mz(N?m)173DD B FQ?0ACC Mz(N?m)173D(g) xD FQ?1800NDABC(h) x360 习题2-12图 y1730NFByMxFAxFAzFAy650NMz ?Fx?0，FAx?650N ?MAz?0，FBy?784N ?Fy?0，FAy?946N ?MCy?0，FAz?FBz
650?325N 2 2．全部内力图见图（a）、（b）、（c）、（d）、AMx650NCFBzBz FNx(N) (a) ?Fz?0，FAz?FBz?AC650B — 64 — (b) （e）、（f）、（g）所示。
FQy(N)784AC946(c) B 325 AFQz(N)C325B(d)
Mx(N?m)AB 3－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm×50mm的矩形。试求杆CE和杆DE横
16.25 截面上的正应力。 15kN5kN4m4(e) 解：图（a）中，cos?? （1）
53m 截面法受力图（a） 325N?m?5kN15kN ?MD?0，FCE?4?(15?5)?3?0 （2） C?D FCE = 15 kN FDE A ?Fx?0，FDEcos??40 （3）
BCFCE （1）代入（3），得FDE = 50 kN
C第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析
FCE(a) 15?103??15MPa A0.02?0.05 F(f) 习题3-1图 ?DE?DE?50MPa A Mz(N?m)p= 10kN/m，在自由端D 3－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度-42AFP = 20 kNBC处作用有集中呼。已知杆的横截面面积A = 2.0×10m，l = 4m。试求：
40FNx(kN) 1．A、B、E截面上的正应力； A 2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。 78.4E 解：由已知，用截面法求得 3094.6 FNA = 40 kN FNB = 20 kN (g) C20 FNE = 30 kN FNA40?103B （1）?A???200MPa ?4A2.0?10FD ?B?NB?100MPa
A(a) F ?E?NE?150MPa
A （2）?max??A?200MPa（A截面）
习题3-2图
3－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。试： 1．写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；
2．若已知d = 25mm，D = 60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec = 105GPa和Ea = 70GPa，FP = 171 kN。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解：1．变形谐调：
FNcF （1） ?Na
EcAcEaAa ∴ ?CE?
— 65 —
My FNc?FNa?FP FNc? FNa?（2）
EcAcFP
EcAc?EaAaEaAaFP
EcAc?EaAaFNcEcFPEcFP???c?A?EA?EA?πd2πcccaa?Ec??Ea?(D2?d2)?44 ∴ ?
FEFNaaP?????aAaπ(D2?d2)πd2Ec?Ea?44? 2． ?c??83.5MPa
105?109?π?0.0252?70?109?π?(0.062?0.025)2E70 ?a??ca?83.5??55.6MPa
Ec105 3－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试： 1．导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；
2．已知FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解：变形谐调：
FF Ns?Na （1）
EsAsEaAa FNs?FNa?FP （2） EsAs??FNs?EA?EAFP?ssaa ?
EAaa?F?FPNa?EA?EAssaa??FNsEsFPEsFP 1． ?s? ??AsEsb0h?Ea?2b1hb0hEs?2b1hEa4?105?109?171?103
习题3-4图
?a??FNaEaFP ??Aab0hEs?2b1hEa?200?09?385?103 2． ?s???175MPa（压）
0.03?0.05?200?109?2?0.02?0.05?70?109?175Ea70 ?a???175??61.25MPa（压）
Es200 3－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h与b的比值：
1．横截面上的最大正应力尽可能小； 2．曲率半径尽可能大。
MMz6Mz 解：1．??z? ?Wzbh2b(d2?b2)6
dWzd?(bd2?b3)?d2?3b2?0 dbdb b?3d 322d 3习题3-5图
h2?d2?b2?h ∴ ?2（正应力尽可能小）
bM1 2． ?z
?zEIz — 66 —
bh3d2?h2h3 Iz? ?1212dIz3 ?0，得h2?d2
dh41 b2?d2?h2?d2
4h ∴ ?3（曲率半径尽可能大）
b 3－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为?0；去掉上、下角后，最大正应力变为?max?k?0，试求： 1．k值与h值之间的关系；
2．?max为尽可能小的h值，以及这种情形下的k值。
43h0h0 解：Izh0?，Wz0?
33M3M ?0??0max?z?3z
Wz0h0 Izh?Izh0?2Iz04h0??23?h0h2y2(h0?y)dy
4h044434 ??h0(h0?h3)?(h0?h4)?h0h3?h4?h3(h0?h)
3333MMz ?max??hmax?z?
Wh24h(h0?h)33h033?maxh0h03???2 k? （1） ?02424h(4h?3h)0h(h0?h)3h(h0?h)334d(h2(h0?h))dWh43 ??h0?2h?3h2?0 dhdh388 h(h0?3h)?0，h = 0（舍去），h?h0
39 代入（1）：k?3h08888(h0)2(4h0?3?h0)()2(4?)9993 3－7 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受Mz = 20 kN·m一个内力分量，Iz = 11.3×106mm4，其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合力。
MM 解：FNx?A?xdA??zydA??zydA
A 1A 2IzIz2?1?81?3?0.9492
64?(12?8)???0.080Mz?0.07?y?0.006dy?y?0.088dy? ?0.07Iz?0?M?11? ??z?6??702?88?(802?702)??10?9
Iz?22? ???? ??20?103?611.3?10 ??143?103??143kN
M习题3-7图 |FNx|?yc*?z
220?0.0699m?70mm yc*?2?143 即上半部分布力系合力大小为143 kN（压力），作用位置离中心轴y = 70mm处，即位于腹板与翼缘交界处。
3－8 图示矩形截面（b·h）直梁，在弯矩Mz作用的Oxy平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，
?10?93?702?44?(802?702)
?? — 67 —
材料力学习题集[有答案]
