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一、选择题
1.已知作用在A点的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为( )
A.(9,1) C.(9,0)
B.(1,9) D.(0,9)
解析:F=F1+F2+F3=(8,0).
又因为起点坐标为(1,1),所以终点坐标为(9,1). 答案:A
1
2.初速度为v0,发射角为θ,若要使炮弹在水平方向的速度为v0,则发射角θ应为( )
2A.15° C.45°
B.30° D.60°
11解析:炮弹的水平速度为v=v0·cos θ=v0?cos θ=?θ=60°.
22答案:D
3.△ABC中,D、E、F分别为BC、CA、AB的中点,则AD+BE+CF=( ) A.0 C.AB
B.0 D.AC
解析:设AB=a,AC=b, 11
则AD=a+b,
22
BE=BA+2AC=-a+2b, CF=CA+2AB=-b+2a.
∴AD+BE+CF=0. 答案:B
4.在△ABC中,D为BC边的中点,已知AB=a,AC=b,则下列向量中与AD同向的是( )
a+bA. |a+b|a-bC. |a-b|
abB.+ |a||b|aaD.- |a||b|
1
1
11
a+b111
解析:AD=AB+AC=(a+b),而是与a+b同方向的单位向量.
222|a+b|
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答案:A 二、填空题
y
5.平面上有三个点A(-2,y),B(0,),C(x,y),若AB⊥BC,则动点C的轨迹方
2程为________.
yy
解析:AB=(2,-),BC=(x,).
22
1
BC=2x-4y2=0,即y2=8x. ∵AB⊥BC,∴AAB·答案:y2=8x
CB=________. 6.已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且|AB|=5,则AC·
解析:由弦长|AB|=5,可知∠ACB=60°,
5
AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cos∠ACB=-2.
5
答案:- 2
7.质量m=2.0 kg的物体,在4 N的水平力作用下,由静止开始在光滑水平面上运动了3 s,则水平力在3 s内对物体所做的功为________.
11F111
解析:水平力在3 s内对物体所做的功:F·s=F·at2=F·t2=F2t2=××42×32
22m2m22=36(J).
答案:36 J
11
OB8.设坐标原点为O,已知过点(0,)的直线交函数y=x2的图像于A、B两点,则OA·
22的值为________.
11
解析:由题意知直线的斜率存在,可设为k,则直线方程为y=kx+,与y=x2联立
2211
得x2=kx+, 22
∴x2-2kx-1=0,∴x1x2=-1,x1+x2=2k, 11y1y2=(kx1+)(kx2+)
221k?x1+x2?
=k2x1x2++ 421
=-k2+k2+
41=, 4
13
OB=x1x2+y1y2=-1+4=-4. ∴OA·
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3答案:- 4三、解答题
9.△ABC的三边长满足AC2+AB2=5BC2,且BE,CF分别为AC,AB边上的中线,求证:BE⊥CF.
证明:如图,∵BA+AC=BC, ∴(BA→+AC)2=BC2, 即BA2+2BA·AC+AC2=BC2. 由已知条件AC2+AB2=5BC2, 得AB·AC=2BC2.
CF ∴BE·
11
=(BA+BC)·(CA+CB) 22
1
CA+BA·CB+BC·CA+BC·CB) =(BA·
41
=[2BC2+CB·(BA+AC)+BC·CB] 41
BC+BC·CB) =(2BC2+CB·
41
=(2BC2-2BC2)=0, 4∴BE⊥CF,∴BE⊥CF.
10.如图,用两根分别长52米和10米的绳子,将100 N的物体吊在水平屋顶AB上,平衡后,G点距屋顶距离恰好为5米,求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).
解:如图,由已知条件可知AG与铅直方向成45°角,BG与铅直方向成60°角. 设A处所受力为Fa,B处所受力为Fb,物体的重力为G, ∠EGC=60°,∠EGD=45°,
则有|Fa|cos 45°+|Fb|cos 60°=|G|=100, 且|Fa|sin 45°=|Fb|sin 60°.
① ②
由①②解得|Fa|=1502-506, ∴A处所受力的大小为(1502-506) N.
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人教版高中数学必修四 2.5平面向量应用举例
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