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一、选择题
1．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为( )
A．(9,1) C．(9,0)
B．(1,9) D．(0,9)
解析：F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
又因为起点坐标为(1,1)，所以终点坐标为(9,1)． 答案：A
1
2．初速度为v0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为v0，则发射角θ应为( )
2A．15° C．45°
B．30° D．60°
11解析：炮弹的水平速度为v＝v0·cos θ＝v0?cos θ＝?θ＝60°.
22答案：D
3．△ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则AD＋BE＋CF＝( ) A．0 C．AB
B．0 D．AC
解析：设AB＝a，AC＝b， 11
则AD＝a＋b，
22
BE＝BA＋2AC＝－a＋2b， CF＝CA＋2AB＝－b＋2a.
∴AD＋BE＋CF＝0. 答案：B
4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则下列向量中与AD同向的是( )
a＋bA. |a＋b|a－bC. |a－b|
abB.＋ |a||b|aaD.－ |a||b|
1
1
11
a＋b111
解析：AD＝AB＋AC＝(a＋b)，而是与a＋b同方向的单位向量．
222|a＋b|
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答案：A 二、填空题
y
5．平面上有三个点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方
2程为________．
yy
解析：AB＝(2，－)，BC＝(x，)．
22
1
BC＝2x－4y2＝0，即y2＝8x. ∵AB⊥BC，∴AAB·答案：y2＝8x
CB＝________. 6．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上的两点，且|AB|＝5，则AC·
解析：由弦长|AB|＝5，可知∠ACB＝60°，
5
AC·CB＝－CA·CB＝－|CA||CB|cos∠ACB＝－2.
5
答案：－ 2
7．质量m＝2.0 kg的物体，在4 N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s，则水平力在3 s内对物体所做的功为________．
11F111
解析：水平力在3 s内对物体所做的功：F·s＝F·at2＝F·t2＝F2t2＝××42×32
22m2m22＝36(J)．
答案：36 J
11
OB8．设坐标原点为O，已知过点(0，)的直线交函数y＝x2的图像于A、B两点，则OA·
22的值为________．
11
解析：由题意知直线的斜率存在，可设为k，则直线方程为y＝kx＋，与y＝x2联立
2211
得x2＝kx＋， 22
∴x2－2kx－1＝0，∴x1x2＝－1，x1＋x2＝2k， 11y1y2＝(kx1＋)(kx2＋)
221k?x1＋x2?
＝k2x1x2＋＋ 421
＝－k2＋k2＋
41＝， 4
13
OB＝x1x2＋y1y2＝－1＋4＝－4. ∴OA·
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3答案：－ 4三、解答题
9．△ABC的三边长满足AC2＋AB2＝5BC2，且BE，CF分别为AC，AB边上的中线，求证：BE⊥CF.
证明：如图，∵BA＋AC＝BC， ∴(BA→＋AC)2＝BC2， 即BA2＋2BA·AC＋AC2＝BC2. 由已知条件AC2＋AB2＝5BC2， 得AB·AC＝2BC2.
CF ∴BE·
11
＝(BA＋BC)·(CA＋CB) 22
1
CA＋BA·CB＋BC·CA＋BC·CB) ＝(BA·
41
＝[2BC2＋CB·(BA＋AC)＋BC·CB] 41
BC＋BC·CB) ＝(2BC2＋CB·
41
＝(2BC2－2BC2)＝0， 4∴BE⊥CF，∴BE⊥CF.
10．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解：如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角． 设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G， ∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝|G|＝100， 且|Fa|sin 45°＝|Fb|sin 60°.
① ②
由①②解得|Fa|＝1502－506， ∴A处所受力的大小为(1502－506) N.
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人教版高中数学必修四 2.5平面向量应用举例
