2024年中国青年政治学院常微分方程考研复试核心题库之计算题精编
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一、2024年中国青年政治学院常微分方程考研复试核心题库之计算题精编
dy331． 讨论方程：?y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切
dx2解；
1?f(x,y)1?2=y3在y?0上存在且连续； 【答案】因为
?y23而y3在y???0上连续 213dy33y=x+c由有：（）?y2
dx23又因为y(0)=0所以：y=x2
另外y=0也是方程的解；
1?3?x2y=故方程的解为：???0或y=0;
x?0 x?0
2． 求出伯努利方程的积分因子.青岛掌?心博阅?电子书
【答案】已知伯努利方程为：两边同乘以y?ndy?P?x?y?Q?x?yn,y?o; dx，令z?y?n，
dz??1?n?P?x?z??1?n?Q?x?,线性方程有积分因子： dx??1?n?P?x?dx?n?1?P?x?dx，故原方程的积分因子为： ??e??e???1?n?P?x?dx?n?1?P?x?dx，证毕！ ??e??e?
3． 研究下列方程零解的稳定性
dxdydz??x?y,??y?z,??z?x(?为常数) dtdtdt???10???23??1?由?E?A=0得?3?3??2?3?????1?0 【答案】A=?0??10????得?1=??1,?2=??i）?+1/2<0即?<-1/2,渐进稳定 ii）?+1/2>0即?>-1/2不稳定
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iii）?+1/2=0即?=-1/2稳定
4． 解方程
【答案】积分因子为
原方程的通积分为
即
5． 求方程
【答案】
经过
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的第三次近似解青岛掌е心博阅电子书
6． 解方程
【答案】因为取
，所以原方程是全微分方程.
，原方程的通积分为
即
7． 求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
【答案】设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x-x)+y 则与x轴，y轴交点分别为：青岛掌?心博阅电子书 x=x0-
y0 y'y=y0-x0y’
则x=2x0=x0-
8． 解方程
y0所以xy=c y'【答案】方程可化为：ydx?xdy??1?xy?dx
?y?1?xy?dx?xdy?0
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d?xy??dx 1?xy故方程的通解为：ln1?xy?x?c
d?xy???1?xy?dx即：
9． 解方程青岛掌и心博?阅电子书
【答案】令
分离变量，取不定积分，得
（
通积分为：
10．解方程
【答案】方程两端同乘以
令
，则
通解为
原方程通解为
11．并求出方程的解:
，代入上式，得 ，得
）
，则
，代入原方程，得
dyyy2??3 dxxxy【答案】令?u
xdydu1?u?x?u?u2 则：dxdxxdu12?u 即xdxxdudx得到2?2
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