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八、附录
为了得到关于最小出手速度和出手角度的计算结果，取在出手高度h=1.8~2.1(m)下，由式（8）和（9）编程计算出最小出手速度和相应的最小出手角度，程序为： H=3.05;l=4.60;
Do[v=9.8*(H-h+Sqrt[l^2+(H-h)^2]);
a0=ArcTan[v/9.8/l]*180/Pi//N;v=Sqrt[v]; Print[\ {h,1.8,2.1,0.1}] 执行的计算结果为
h=1.8 vmin=7.67885 a0=52.6012 h=1.9 vmin=7.59851 a0=52.0181 h=2. vmin=7.51861 a0=51.429 h=2.1 vmin=7.43917 a0=50.8344
这里出手角度a0的单位为度，出手高度h的单位为米，速度单位为米/秒。 这个计算结果说明最少出手速度和相应的最小出手角度都是随着出手高度的增加而有所减少，而出手速度一般不要小于8m/s。
为了得到出手速度和出手高度对出手角度的计算结果，取出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度h=1.8~2.1(m)下，由式（5）和（10）编程计算出手角度?1和?2及对应的入射角度?1和?2，程序为：
H=3.05;l=4.60;
Do[v2=v^2;at=Sqrt[1-2*9.8*(H-h+9.8*l^2/(2v2))/v2]; a1=v2*(1+at)/9.8/l;a2=v2*(1-at)/9.8/l; b1=a1-2*(H-h)/l;b2=a2-2*(H-h)/l; a1=ArcTan[a1]*180/Pi//N; a2=ArcTan[a2]*180/Pi//N;
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b1=ArcTan[b1]*180/Pi//N; b2=ArcTan[b2]*180/Pi//N; Print[\
Print[\ {v,8.0,9.0,0.5},{h,1.8,2.1,0.1}] 执行的计算结果为
v=8. h=1.8
a1=62.4099 a2=42.7925 b1=53.8763 b2=20.9213 v=8. h=1.9
a1=63.1174 a2=40.9188 b1=55.8206 b2=20.1431 v=8. h=2.
a1=63.7281 a2=39.13 b1=57.4941 b2=19.6478 v=8. h=2.1
a1=64.267 a2=37.4017 b1=58.9615 b2=19.3698 v=8.5 h=1.8
a1=67.6975 a2=37.5049 b1=62.1726 b2=12.625 v=8.5 h=1.9
a1=68.0288 a2=36.0075 b1=63.1884 b2=12.7753 v=8.5 h=2.
a1=68.3367 a2=34.5214 b1=64.1179 b2=13.024 v=8.5 h=2.1
a1=68.6244 a2=33.0444 b1=64.9729 b2=13.3583 v=9. h=1.8
a1=71.0697 a2=34.1327 b1=67.1426 b2=7.655
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v=9. h=1.9
a1=71.2749 a2=32.7614 b1=67.7974 b2=8.16635 v=9. h=2.
a1=71.47 a2=31.3881 b1=68.4098 b2=8.73212 v=9. h=2.1
a1=71.6561 a2=30.0127 b1=68.984 b2=9.34718
这里出手角度a1和a2（对应公式中的?1和?2）及入射角度b1和b2（对应公式中的?1和?2）的单位为度，出手高度h的单位为米，速度单位为米/秒。 从这个计算结果可以看出第二个入射角度?2均小于33.1度，它不满足式（11），因此在考虑篮球和篮框大小时，出手角度只能是?1。此外，计算结果提示我们，在速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但随着速度的增加，高度对角度的影响变小。高度对角度的影响在1度左右。出手高度一定时，速度越大，出手角度也应越大，速度的影响在7~9度之间。
数学建模投篮命中率的数学模型
