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其中，v2满足 v4?2v2(H0?h0)g?g2s2?0
又因为
v4?2v2(H0?h0)g?g2s2?v2?(H0?h0)gdtan???0 24222d(v)gsv?2v(H0?h0)g?gs
所以，tan?是v2的减函数，当v2达到极小时，tan?达到极大，由于
v4?2v2(H0?h0)g?g2s2?0
解得
2v2?g(H0?h0?(H0?h0)2?s2)?vm(s)
则有
maxtan??vH?hH?h12vm(s)?00?(00)2?1?tan?0(s) gsss
其中
?0(s)?arctan[
H0?h0H?h?(00)2?1] ss从上式可以看出，?0(s)是s的减函数，由于s?[s0?R,s0?R]
所以
arctan[
H0?h0H?hH?hH?h?(00)2?1]??0(s)?arctan[00?(00)2?1]
s0?Rs0?Rs0?Rs0?R2gH0?h0?(H0?h0)2?(s0?R)2?v?2gH0?h0?(H0?h0)2?(s0?R)2
????由题已知H0=3.050（米）， R=0.225（米）， s0=4.600（米）， 假定h0=2.100(米)
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把H0、s0、R的数据代入计算，得角度、速度的范围：
2.考虑篮球和篮框的大小，同样忽略空气阻力的影响
由于考虑了篮球的大小，则篮球入射角?受到篮球直径d大小的影响，如果入射角?太小，则球会碰到篮框导致球不能入框（见图2）。利用三角函数关系容易得出球心命中框心且球入框的条件为
sin??dD?图2 O A D B 即
在本题给定的篮球直径d和篮框直径D数据下，容易算出球心命中框心且球入框的入射角?>33.1? 。此外，通过简单的计算，可以得出球心前后偏离框心的最大距离?x满足
?x?Dd?22sin?
由已知篮框直径D=0.450（米），得
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3.考虑出手角度和出手速度的最大偏差
记出手角度和出手速度的允许的最大偏差的为??和?v，因为出手角度和出手速度的最大偏差可以看作当罚球点到篮框的水平方向距离L变为L??x引起的偏差，此时篮框的高度是不发生变化的，于是式（2）可以用方程
A ? x B 图3 D （*）
代替。在式（*）中假设出手速度v不变，?可以看作是x的函数，将式（*）对x
求微分，并令x=L代入，有
用??和?x代替d?和dx,得到出手角度允许的最大偏差??与?x的关系
类似地，将式（*）中的出手速度v只看成是x的函数，将式（*）对x求微分，并令x=L代入，有得到出手速度的允许的最大偏差? v与?x的关系
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4. 考虑有空气阻力影响的情况
这里只考虑水平方向的阻力，不考虑垂直方向的阻力，因为投篮时对球运动的阻力主要体现在水平方向上。通常水平方向的阻力与速度成正比，如果设比例系数为k, 则篮球在水平方向上的运动可以由如下微分方程描述：
?d2xdx??k?02dt??dtx(0)?0??dx?vcos??dt??t?0
这是常系数线性微分方程，用高等数学中的特征方程法可以求出它的解
1?e?ktx(t)?vcos?k
于是得到如下球的运动参数方程：
?1?e?kt?x(t)?vcos??k??gt2?y(t)?vsin??t?2?
注意到通常罚球时阻力并不大（阻力系数一般不超过0.05秒-1），而罚球后球的运动时间也很短（大约1秒左右），因此，我们可以把运动方程（16）中的e –kt在t=0处做泰勒展开并略去t的二次幂以上的项，就可以得到更为简洁的运动方程
?kvcos??t2?x(t)?vcos??t??2??gt2?y(t)?vsin??t?2?
将此式与式（1）相比，可以看到阻力对x(t)的影响因子为(1-kt/2),因为
k=0.05,t?1，因此有阻力对命中率的影响约为0.05/2?3%。此外，如果不考虑篮球和篮框的大小，就有球心命中框心的条件为
?kvcos??t2?vcos??t??L?0?2??gt2?vsin??t?2?H?h?0?
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5.计算结果与分析
5．1 以出手点高h0=2.9m为例,篮球运动员投空心篮时,利用公式(26),可以求得在不同的落球点的相应出手角度范围如下：
投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表 x 8．25 6．25 5．25 4．25 3 2 45.50?～45.67?～45.71? 45.80?～45.85? 45.97?～46.60? 46.34?～46.50? 46.34?～47.40? ? 45.54?
5．2 以出手点高为h0=2.5m,运动员投空心篮时,可以利用公式(26)在不同的落球点的相应出手角度范围如下:
投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表 x 8．25 6．25 5．25 4．25 3 2 46.85?～47.44?～47.88?～48.52?～48.88?～52.01?～? 46.95? 47.50? 48.10? 48.87? 50.56? 53.50?
因此，从表中可以看出，当投篮的出手点高h0=2.5m，在罚线线投球的最佳出手角度是49?，这与现实中的投篮结果差异很小⑺。
对问题二的求解：
1．针对在限制区边线上距篮框中心90度（罚球线）位置上的投篮
数学建模投篮命中率的数学模型
